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लघुतम समापववर्त्य (Lowest Common Multiple):
प्रथम विधि : यदि m, n दो प्राकृतिक संख्याएं हों, तो हम जानते हैं कि m और n गुणनफल उनके म. स. और ल. स. के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात्
mn = (m और n का म.स.) X (m और n का ल.स.)
= (x+3)(x–2)2(x–6).
UP Board Class 10 Mathematics Notes : H.C.F and L.C.M (Chapter Second), Part-I
द्वितीय विधि : निम्नलिखित विधि से भी हम दिये हुए बहुपदों का ल. स. ज्ञात कर सकते हैं| दिये हुए बहुपदों के गुणनखण्ड करने पर
P(x) = (x + 3)(x – 2)2
q(x) =(x – 2)(x – 6)
अब हम p(x) और q(x) के प्रत्येक गुणनखण्ड को लेकर इ बहुपद बना लेते हैं और यदि कोई गुणनखण्ड दोनों में सर्वनिष्ठ हो, तो हम उस गुणनखण्ड को लेते हैं जिसकी p(x),q(x) में अधिकतम घात हो| निम्न उदाहरणों से क्रिया स्पष्ट हो जायेगी:
हल सहित उदाहरण:
उदाहरण1. x(x2 – 1) और (x3 – 1) का ल.स. है:
(i) x(x – 1)
(ii) x(x2 – 1)
(iii) x(x3 – 1)
(iv) x(x + 1)(x3 – 1)
उत्तर: विकल्प (iv) x(x + 1)(x3 –1).
हल: x(x2 –1) = x X (x – 1)X(x + 1)
X3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)
ल. स. = x(x – 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
= x(x + 1)(x3 – 1).
उदाहरण 3. व्यंजको x2–x–12, x2–9 तथा x2–8x+16 का लघुतम समापवर्तक ज्ञात कीजिए|
हल: x2 – x – 12 = (x – 4) X (x + 3)
X2 – 9 = (x – 3) X (x+ 3)
X2 – 8x + 16 = (x – 4) X (x – 4)
ल.स. = (x – 3)(x + 3)(x – 4)(x – 4)
= (x – 3)(x + 3)(x – 4)2
उदाहरण 4. यदि दो व्यंजकों का गुणनखण्ड (x – 1)3 है और उसका महत्तम समापवर्तक (x – 1) हो, तोउसके लघुतम समापवर्तक का मान होगा:
(i) (x – 1)
(ii) (x – 1)2
(iii) (x – 1)3
(iv) (x – 1)4
उत्तर: विकल्प (ii) (x – 1)2 सही है|
हल: हम जानते हैं कि
दो व्यंजकों का गुणनफल = म.स. X ल.स.
(x – 1)3 = (x – 1) X ल.स.
ल.स. = (x – 1)3/(x – 1)
ल.स. = (x – 1)2
उदाहरण 5. (x2 – 7x + 12) तथा (x2 – 2x + 3) का ल. स. ज्ञात कीजिए|
हल: x2 – 7x + 12 = (x – 3) (x – 4)
x2 –2x + 3 = (x – 1) (x – 3)
ल.स. = (x – 1)(x – 3)(x – 4).
उदाहरण 6. व्यंजकों x3 + 27, x2 – 9 तथा 2x2 +5x – 3 का ल.स. ज्ञात कीजिए|
हल: x3 + 27 = (x + 3)(x2 – 3x + 9)
x2 – 9 = (x – 3)(x – 3)
2x2 + 5x – 3 = 2x2 + 6x – x – 3
= 2x (x + 3) – 1(x + 3)
= (x + 3)(2x – 1)
ल.स. =(x + 3)(x – 3)(2x – 1)(x2 –3x + 9)
=(x2 –9)(2x – 1)(x2 –3x + 9).
UP Board Class 10 Mathematics Notes : Rational Expressions (Chapter First), Part-I
उदाहरण 7. दो बहुपदों के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक क्रमश: (x–5) और (x–5)(x2–7x+12) हैं| यदि उनमें से एक बहुपद (x2–8x+15) है यदि उनमें से एक बहुपद (x2–8x+15) हो, तो दूसरा बहुपद ज्ञात कीजिए|
हल: म.स. = (x – 5)
ल.स. = (x – 5)(x2 –7x + 12)
एक बहुपद = x2–8x+15
=(x – 4)(x – 5)
=x2 – 9x+ 20
अत: दूसरा बहुपद =x2–9x+20
उदाहरण 8. यदि दो बहुपदों का गुणनफल (x2–9)(x3–8) हो तथा उनका म.स. (x2+x–6) हो तो उनका ल.स. ज्ञात कीजिए|
UP Board Class 10 Mathematics Notes : Rational Expressions (Chapter First), Part-II
