UP Board class 10th mathematics notes on Circle part III

In this article we are providing UP Board class 10th mathematics notes on chapter 8; circle. This notes will help you to understand the complete chapter in a very easier way and the notes are based on chapter 8 (circle) of class 10th maths subject. Read this article to get the notes, here we are providing each and every notes in a very simple and systematic way.

प्रमेय 1

यदि किसी वृत्त (अथवा सर्वांगसम वृत्तों) के दो चाप सर्वांगसम हों, तो संगत जीवाएँ बराबर होती हैं ।

हम यहाँ सर्वांगसम वृत्तों के चापों से सम्बन्धित प्रमेय की उपपत्ति देंगे और इसके बाद ठीक इसी प्रकार वृत्त के चापों से सम्बन्धित प्रमेय की उपपत्ति भी हम दे सकते हैं ।

UP Board Class 10 Notes For Trigonometry (Chapter Sixth), Part-III

प्रमेय 2

यदि किसी वृत (अथवा सर्वांगसम वृत्तों) की दो जीवाएँ समान हों, तो उनके संगत (लघु, दीर्घ अथवा अर्द्धवृत्ताकार) चाप सर्वांगसम होते हैं|

हम यहाँ सर्वांगसम वृत्तों की जीवाओं से सम्बन्धित प्रमेय की उपपत्ति देंगे और इसके बाद ठीक इसी प्रकार वृत्त की जीवाओं से सम्बन्धित प्रमेय की उपपत्ति हम दे सकते हैं|

दिया है: वृत्त C(O, r) की जीवा PQ और सर्वांगसम वृत्त C(O’, r) की जीवा RS बराबर हैं|

वृत्त के केंद्र और जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है|

दिया है: वृत्त C(O, r) की जीवा PQ जिसका मध्य बिन्दु M है|

सिद्ध करना है: OM जीवा PQ पर लम्ब है|

रचना : रेखाखण्ड OP और QO खींचिए | (आकृति)

अत: OM जीवा PQ पर लम्ब है|

                                                                                                    उपप्रमेय

वृत्त को दो जीवाओं के लम्ब समद्विभाज़क (Perpendicular Bisector) वृत्त के केन्द्र यर प्रतिच्छेद करते  हैं। आप जानते है कि यदि दो अलग-अलग बिन्दु हों तो वे उनसे होकर जाने वाली एक अद्वितीय रेखा को निर्धारित करते है । अब वृत्त के सन्दर्भ में एक प्रश्न यह उठता है कि कम-से-कम कितने अलग-अलग बिन्दु होने चाहिए जोकि उनसे होकर जाने वाले अद्वितीय वृत्त को निर्धारित कर सकें । एक अद्वितीय वृत्त निर्धारित करने के लिए दो बिन्दु पर्याप्त नहीं होते, क्योंकि दो बिन्दुओं A, B से होकर अनन्त वृत्त जा सकते है । (आकृति) । यदि तीन सरेख बिन्दु (collinear points) लिए जाएँ तो इन तीन बिन्दुओं से होकर कोई वृत्त नहीं जा सकता । क्योंकि, यदि इन तीन संरेख बिन्दओं A, B और C से होकर जाने वाला कोई वृत्त होगा तो केन्द्र से इस रेखा पर डाले गये लम्ब को AB, BC और AC को समद्विभाजित करना पड़ता (प्रमेय) ।

UP Board Class 10 Mathematics Notes On Statistics (Chapter Fifth), Part-II