UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-IV

आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 10 गणित के अध्याय 6-त्रिकोणमिति (trigonometry) के चौथे पार्ट का नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| हम इस चैप्टर नोट्स में जिन टॉपिक्स को कवर कर रहें हैं उसे काफी सरल तरीके से समझाने की कोशिश की गई है और जहाँ भी उदाहरण की आवश्यकता है वहाँ उदहारण के साथ टॉपिक को परिभाषित किया गया है| त्रिकोणमिति (trigonometry) यूपी बोर्ड कक्षा 10 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए। यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 10 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे। इस लेख में हम जिन टॉपिक को कवर कर रहे हैं वह यहाँ अंकित हैं:

कोण (360⁰ ± θ) के त्रिकोणमितिय अनुपातों के कोण θ के त्रिकोणमितिय अनुपातों में ज्ञात करना:

360⁰ + θ का कोण बनाने पर परिक्रामी रेखा की वही स्थिति होगी जो कि कोण (+ θ) बनाने पर होती है । क्योंकि (360⁰ + θ) बनाने पर एक पूरी परिक्रमा हो जाती है इसलिए कोण 360⁰ + θ के सब त्रिकोणमितीय अनुपात परिमाण और चिन्ह में वही होते है जो कोण θ के है । यदि n पूर्णांक संख्या हो, तो n.360⁰ + θ के त्रिकोणमितीय अनुपात कोण θ के त्रिकोणमितीय अनुपात के बराबर होते हैं ।

इसी प्रकार (360⁰ - θ) का कोण बनाने पर परिक्रामी रेखा की वही स्थिति होगी जो कि कोण (- θ) बनाने पर होती है । इसलिए कोण (360⁰ + θ) के सब त्रिकोणमितीय अनुपात परिमाण और चिन्ह में वही होते हैं जो कोण (- θ) के है । यदि n संख्या हो, तो (n.360⁰ - θ) के त्रिकोणमितीय अनुपात कोण (- θ) के त्रिकोणमितीय अनुपात के बराबर होते हैं ।

6-5. sin और cos के विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपात के त्रिकोणमितीय पदों में :

कोण θ के पूरक (complementary angle), संपूरक कोण (supplementary angle) आदि कोणों के त्रिकोणमितिय अनुपात कोणों के संगत अनुपातों में व्यक्त करने बाले सुत्र अग्रलिखित हैं :

त्रिकोणमितिय अनुपातों के चिन्हों का ज्ञान निम्न की सहायता से सुगमतापूर्वक प्राप्त हो जाता है:

प्रश्नावली 6 (c)

लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

1. tan 135⁰.                                        2. cos 135⁰.                                         3. tan 150⁰.

4. cos 120⁰.                                        5. sin 1920⁰.                                        6. tan 765⁰.

7. sin (-1125⁰).                                    8. tan (-585⁰).                                     9. sin 900⁰.

10. tan² 405⁰ + cot² 315⁰ = 2.

हल सहित उदाहरण (Illustrative Examples):

लघु उत्तरीय प्रश्न:

विस्तृत उत्तरीय प्रश्न :

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Trigonometrical Identities) :

एक या अधिक चरों वाले उस समीकरण को सर्वसमिका (identity) कहा जाता है जो कि सम्बन्धित चरों के सभी मानों के लिए संतुष्ट हो जाता हो अर्थात् चर (चरों) के सभी मानों के लिए समीकरण का वाम पक्ष दक्षिण पक्ष के बराबर होता हो|

हल सहित उदाहरण (Illustrative Examples) :

इस तरह हम यह पाते हैं कि दिये हुये समीकरण के केवल दो हल अर्थात् 0⁰ और 45⁰ हैं| अत: यह समीकरण सर्वसमिका नहीं है|

वैकल्पिक विधि: कभी – कभी समीकरण को देखकर ही चर का एक विशेष मान हम ले सकते हैं जिसके लिए समीकरण का प्रत्येक पक्ष परिभाषित होता हो| यहाँ दोनों पक्ष बराबर नहीं हैं| क्योंकि यदि हम दिये हुये समीकरण में ϕ = 30⁰ लें, तो

इस तरह, हम यह पाते हैं कि ϕ = 30⁰ पर समीकरण के दोनों पक्ष बराबर नहीं हैं | इससे यह सिद्ध होता है कि दिया हुआ समीकरण सर्वसमिका नहीं है|

लघु उत्तरी प्रश्न :

बताइए कि निम्नलिखित समीकरण सर्वसमिका हैं या नहीं:

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