UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-V

आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 10 गणित के अध्याय 6-त्रिकोणमिति (trigonometry) के पांचवे पार्ट का नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| हम इस चैप्टर नोट्स में जिन टॉपिक्स को कवर कर रहें हैं उसे काफी सरल तरीके से समझाने की कोशिश की गई है और जहाँ भी उदाहरण की आवश्यकता है वहाँ उदहारण के साथ टॉपिक को परिभाषित किया गया है| त्रिकोणमिति (trigonometry) यूपी बोर्ड कक्षा 10 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए। यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 10 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे। इस लेख में हम जिन टॉपिक को कवर कर रहे हैं वह यहाँ अंकित हैं:

त्रिकोणमितीय सारणी :

विभिन्न व्यावहारिक स्थितियों में त्रिकोणमिति के परिणामी को लागू करने के लिए हमें विभिन्न कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों की आवश्यकता होती है । विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान दशमलव के कुछ स्थानो तक शुद्ध अभिकलित किये गये हैं । इस परिच्छेद में आप इन मानों से सम्बन्धित सारणियों का प्रयोग करने की विधि जान जायेंगे ।

पुस्तक में दो प्रकार की सारणियाँ दी गई है । यूँ तो इनमें दिये गये अधिकांश मान सन्निकट मान हैं परन्तु परिशुद्ध मान और सन्निकट मान में त्रुटि इतनी कम होती है कि पूरी सारणी में दिये गये सन्निकट मान की ही परिशुद्ध मान माना गया है । इस अध्याय के शेष भाग में भी हम इन त्रुटियों को उपेक्षा कर देगें, और सारणियों में दिये गये विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपातों के सन्निकट मानों को ही परिशुद्ध मान मानेंगे ।

सारणी 1. इस सारणी में 10 - 10 मिनट के अन्तराल पर 0^० से 90^० तक के कोणों के सभी छ: त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान तीन अथवा चार दशमलव स्थानों तक शुद्ध दिये गये है । जैसा कि परिच्छेद में बताया जा चुका है हमें केवल 45^० तक के ही मान देने की आवश्यकता होती है । इसके कुछ उदाहरण हम नीचे दे रहे हैं ।

हल सहित उदाहरण (Illustrative Examples) :

उदाहरण 1. सारणी I से sin 5⁰ 40' का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : इसके लिए हम सारणी के पहले स्तम्भ में 5⁰ 40’ देखते हैं । 5⁰ 40’ वाली पंक्ति में हम sine के स्तम्भ को देखते है । इनके मिलान बिन्दु पर हमें संख्या 0.0987 प्राप्त होती है ।

∴                                                             sin 5⁰ 40’ = 0.0987.

उदाहरण 2. cos 26⁰ 50’ जीन का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हम पहले स्तम्भ में 26⁰ 50’ वाली पंक्ति को देखते है । 26⁰ 50’ वाली पंक्ति और cosine वाले स्तम्भ के मिलान बिन्दु पर हमें संख्या 0.8923. प्राप्त होती है ।

∴                          cos 26⁰ 50’ = 0.8923.

उदाहरण 3.  tan 47⁰ 30’  का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हमारी सारणी में केवल 45⁰ तक के मान दिये गये है । परन्तु अन्तिम स्तम्भ में कुछ प्रविष्टियाँ दी गई हैं जो 45⁰  से अधिक है । किसी विशेष पंक्ति में पहले और अन्तिम स्तम्भ की प्रविष्टियाँ पूरक प्रविष्टियाँ हैं । अत: अन्तिम स्तम्भ में कहीं पर हमें 47⁰ 30’ प्राप्त होगा ।

47⁰ 30’ वाली पंक्ति में बायी ओर चलते चलते हमें पहले स्तम्भ में 42⁰ 30’ प्राप्त होता हैं । दूसरे शब्दों में हम यह कह सकते है कि 47⁰ 30' और उसका पूरक कोण 42⁰ 30' एक ही पंक्ति में होते है 42⁰ 30’ अन्तिम स्तम्भ मेँ होता है और 42⁰30’ पहले स्तम्भ में होता हैं । क्योंकि tan (47⁰ 30’) = tan (90⁰ – 42⁰ 30’) = cot 42⁰ 30’ इसलिए हमें cot 42⁰30’ cotangent के स्तम्भ और 42⁰ 30’  को पंक्ति में प्राप्त होता है । इसकी संगत संख्या 1.0913 हैं ।

∴                                                             cot 42⁰ 30’ = 1.0913

अत:                                                       tan 47⁰ 30’ = 1.0913

प्राय : वास्तविक फलन (त्रिकोणमितीय अनुपात) को स्तम्भ के तल पर लिखा जाता है जिससे कि सारणी में इसे आसानी से पढ़ा जा सके । इस तरह, प्रत्येक स्तम्भ के सिरे पर फलन और तल पर सहफलन-युग्म अर्थात् सह-अनुपात लिखा जाता है ।

उदाहरण 4. cosec 68⁰ 20’ का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हम 68⁰ 20’ के लिए अन्तिम स्तम्भ (column) को देखते हैं और तब इससे सम्बन्धित पंक्ति (row) को देखते हैं । sec के स्तम्भ में 68⁰ 20’ वाली पंक्ति में संगत संख्या 1.076 है ।

∴                          cosec 68⁰ 20’ = 1.076.

सारणी II. इनमें 1⁰ के अन्तराल पर अर्थात् 6 ' के अन्तराल पर 0⁰ से 90⁰ तक के कोणों के सभी छ: त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान दशमलव के तीन अथवा चार स्थानो तक शुद्ध दिये गये है । अन्य सभी मामलों में यह सारणी I से काफी मिलती जुलती है ।

उदाहरण 5. sin (25.7)⁰ का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हम पहले स्तम्भ में 25.7 की पंक्ति को देखते हैं और तब हम इसी पंक्ति और ऊपर लिखे sine के स्तम्भ में लिखी संख्या को पाते हैं । यह संख्या 0.4337 है ।

इस तरह,             sin (25.7)⁰  = sin 25⁰ 42’ = 0.4337.

उदाहरण 6. Sec (51.4)⁰ का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हम अन्तिम स्तम्भ में उस पंक्ति को देखते हैं जिसमें (51.4)⁰ है । इस पंक्ति में cosecant के स्तम्भ में संगत संख्या 1.6029 है ।

∴                          sec (51.4)⁰ = 1.6029.

टिप्पणी : केवल कुछ बटनों को दबाकर साइंटिफिक कैलकुलेटरों से (01)⁰ के अन्तराल पर कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान दशमलव के आठ अथवा दस स्थानों तक शुद्ध प्राप्त किये जा सकते है । कैलकुलेटरों में अन्य कार्यों के अतिरिक्त sin, cos, tan  और 1/x (जो व्युत्कम फलन x → 1/x को प्रकट करता है) की भी कुंजियाँ होती है । उदाहरण के लिए sin (23.72)⁰ का मान ज्ञात करने के लिए हमें केवल कैलकुलेटर को डिग्री विधा में रखना होता है । 23.72 प्रविष्ट करना होता है और sin बटन को दबाना होता है । ऐसा करने पर हमें उत्तर 0.4023 प्राप्त हो जाता है । sec (49.51)⁰ का मान ज्ञात करने के लिए हमें 49.51 प्रविष्ट करना होता है । इसके बाद cos बटन को दबाना होता है और अन्त में 1/x बटन को दबाना होता है

ऐसा करने पर कैलकुलेटर पर उत्तर 1.534 आ जाता है । जिन विद्यार्थियों के पास कैलकुलेटर हैं, उन्हें चाहिए कि कुछ व्यावहारिक प्रश्नों को हल करके कैलकुलेटर का प्रयोग करने का अभ्यास कर लें । यूँ तो आप लघुगणकीय सारणियों से परिचित हैं परन्तु उत्तम सन्निकट के साथ लघुगणकों का मान ज्ञात करने के लिए भी कैलकुलेटरों का प्रयोग किया जा सकता है ।

उदाहरण 7. 1 मीटर को त्रिज्या वाले वृत्त के अन्तर्गत बनाये गये एक समबहुभूज को एक भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जबकि बहुभुज (i) 24 भुजाओं, (ii) 100 भुजाओं वाला हो । आप अपना उत्तर सेंटीमीटर में एक दशमलव स्थान तक शुद्ध दीजिए ।

अर्थात् भुजा की लम्बाई 0.0628 मीटर या दशमलव के एक दशमलव स्थान तक शुद्ध 6.3 सेमी हैं

लघु उत्तरीय प्रश्न :

1. त्रिकोणमितीय सारणियों की सहायता से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

(i) sin 24⁰ 32’

(ii) cos 65⁰ 25’

(iii) sin 64⁰ 42’ + cos 42⁰ 20’

2. 15 सेमी त्रिज्या के वृत्त की जीवा AB केन्द्र O पर 131⁰ का कोण बनाती है, जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

4. 80 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अन्तर्गत खींचे गये 25 भुजाओं वाले समबहुभुज को भुजा ज्ञात कीजिए ।

5. उस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कर्ण 6 सेमी हो और जिसका एक न्यूनकोण 77⁰ का हो।

6. उस समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 10 सेमी का हो और जिसका शीर्ष कोण 57⁰ का हो ।

बहुविकल्पीय प्रश्नावली :

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं। सही उत्तर छाँटकर लिखिए।

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न:

सिद्ध कीजिए कि:

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-IV

UP Board कक्षा 10 विज्ञान चेप्टर नोट्स : कार्बनिक यौगिक, पार्ट-VIII