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UP Board Class 12 Mathematics-I Notes : Determinants(Chapter-2), Part-II

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Aug 9, 2017 15:40 IST
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निम्नलिखित गुणों की सहायता से सारणिक का विस्तार सुगमता से किया जा सकता है यद्यपि यहाँ इन गुणों का सत्यापन तृतीय क्रम के सारणिकों के लिए किया गया है, परन्तु यह गुण किसी भी क्रम के सारणिक के लिए सत्य हैं।

* गुण 1. यदि सारणिक की किसी पंक्ति अथवा किसी स्तम्भ का प्रत्येक अवयव शून्य है तो सारणिक का मान शून्य होता है।

determinants first property

* गुण 2. यदि किसी सारणिक की पंक्तियों को स्तम्भों में तथा स्तम्भों को पंक्तियों में परिवर्तित कर दिया जाए तो उस सारणिक के मान में कोई परिवर्तन नहीं होता है|

second property of determinants

UP Board Class 12 Mathematics Long Answer Solved Practice Paper First: Set -I

* गुण 3. यदि किसी सारणिक की किन्ही डो पंक्तियों अथवा किन्हीं दो स्तम्भों को परस्पर बदल दिया जाए तो उस सारणिक के मान का चिन्ह बदल जाता है|

500

* गुण 4. यदि किसी सारणिक की कोई दो पंक्तियों अथवा कोई दो स्तम्भ सर्वसम (Identical) हैं तो उस सारणिक का मान शून्य होता है|

determinants fourth property

* गुण 5. यदि सारणिक की किसी पंक्ति अथवा किसी स्तम्भ का प्रत्येक अवयव दो या दो से अधिक पदों का योगफल है तो सारणिक को उसी क्रम के दो या दो से अधिक सारणिकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है|

fifth property of determinants

sixth property of determinants

 

seventh property of determinants

1. यदि सारणिक की किसी एक ही पंक्ति अथवा किसी एक ही स्तम्भ में कोई संख्या उभयनिष्ट है तो उस संख्या को एक गुणनखण्ड के रूप में सारणिक से बाहर लिया जा सकता है|

2. यदि सारणिक की किसी पंक्ति अथवा किसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव को किसी अचर से मुक्त किया जाए तो पुरे सारणिक को उस अचर से भाग कर देते हैं|

eighth property of determinants

ninth properties of determinants

यदि  में a = b  रखा जाए तो प्रथम तथा द्वितीय पंक्तियाँ सर्वसम हो जाती हैं जिससे  का मान शून्य हो जाता है| अत: (a – b),  का एक गुणनखण्ड है|

इसी प्रकार  में b = c तथा c = a रखकर दिखाया जा सकता है कि (b – c) तथा (c – a) भी  के गुणनखण्ड हैं|

सारणिकों का मान ज्ञात करने की विधि:

द्वितीय क्रम के सारणिक का मान सरलतापूर्वक ज्ञात किया जा सकता है| परन्तु दो से अधिक क्रम वाले सारणिकों का मान ज्ञात करने के लिए सारणिक के गुणों की सहायता से सारणिक की किसी एक पंक्ति अथवा किसी एक स्तम्भ के अधिकतम अवयवों को शून्य बनाने का प्रयास कीजिए तथा उसी पंक्ति अथवा उसी स्तम्भ के अनुदिश सारणिक का विस्तार कीजिए|

UP Board Class 12 Mathematics-I Notes : Determinants(Chapter-2), Part-I

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