UP Board कक्षा 12 गणित-I चेप्टर नोट्स : सारणिक (चैप्टर-2) पार्ट-II

आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 12 गणित के दुसरे अध्याय सारणिक (Determinants) के दुसरे पार्ट का नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| हम इस चैप्टर नोट्स में जिन टॉपिक्स को कवर कर रहें हैं उसे काफी सरल तरीके से समझाने की कोशिश की गई है और जहाँ भी उदाहरण की आवश्यकता है वहाँ उदहारण के साथ टॉपिक को परिभाषित किया गया है| Determinants यूपी बोर्ड कक्षा 12 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए। यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 12 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे।

निम्नलिखित गुणों की सहायता से सारणिक का विस्तार सुगमता से किया जा सकता है यद्यपि यहाँ इन गुणों का सत्यापन तृतीय क्रम के सारणिकों के लिए किया गया है, परन्तु यह गुण किसी भी क्रम के सारणिक के लिए सत्य हैं।

* गुण 1. यदि सारणिक की किसी पंक्ति अथवा किसी स्तम्भ का प्रत्येक अवयव शून्य है तो सारणिक का मान शून्य होता है।

* गुण 2. यदि किसी सारणिक की पंक्तियों को स्तम्भों में तथा स्तम्भों को पंक्तियों में परिवर्तित कर दिया जाए तो उस सारणिक के मान में कोई परिवर्तन नहीं होता है|

UP Board कक्षा 12 गणित-I चेप्टर नोट्स : आव्यूह(चैप्टर-1)

* गुण 3. यदि किसी सारणिक की किन्ही डो पंक्तियों अथवा किन्हीं दो स्तम्भों को परस्पर बदल दिया जाए तो उस सारणिक के मान का चिन्ह बदल जाता है|

* गुण 4. यदि किसी सारणिक की कोई दो पंक्तियों अथवा कोई दो स्तम्भ सर्वसम (Identical) हैं तो उस सारणिक का मान शून्य होता है|

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* गुण 5. यदि सारणिक की किसी पंक्ति अथवा किसी स्तम्भ का प्रत्येक अवयव दो या दो से अधिक पदों का योगफल है तो सारणिक को उसी क्रम के दो या दो से अधिक सारणिकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है|

1. यदि सारणिक की किसी एक ही पंक्ति अथवा किसी एक ही स्तम्भ में कोई संख्या उभयनिष्ट है तो उस संख्या को एक गुणनखण्ड के रूप में सारणिक से बाहर लिया जा सकता है|

2. यदि सारणिक की किसी पंक्ति अथवा किसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव को किसी अचर से मुक्त किया जाए तो पुरे सारणिक को उस अचर से भाग कर देते हैं|

यदि  में a = b  रखा जाए तो प्रथम तथा द्वितीय पंक्तियाँ सर्वसम हो जाती हैं जिससे  का मान शून्य हो जाता है| अत: (a – b),  का एक गुणनखण्ड है|

इसी प्रकार  में b = c तथा c = a रखकर दिखाया जा सकता है कि (b – c) तथा (c – a) भी  के गुणनखण्ड हैं|

सारणिकों का मान ज्ञात करने की विधि:

द्वितीय क्रम के सारणिक का मान सरलतापूर्वक ज्ञात किया जा सकता है| परन्तु दो से अधिक क्रम वाले सारणिकों का मान ज्ञात करने के लिए सारणिक के गुणों की सहायता से सारणिक की किसी एक पंक्ति अथवा किसी एक स्तम्भ के अधिकतम अवयवों को शून्य बनाने का प्रयास कीजिए तथा उसी पंक्ति अथवा उसी स्तम्भ के अनुदिश सारणिक का विस्तार कीजिए|

UP Board कक्षा 12 गणित-I चेप्टर नोट्स : सारणिक (चैप्टर-2) पार्ट-I