UP Board कक्षा 12 गणित-I चेप्टर नोट्स : आव्यूह(चैप्टर-1)

आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 12 गणित के पहले अध्याय आव्यूह(Matrices) का नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| हम इस चैप्टर नोट्स में जिन टॉपिक्स को कवर कर रहें हैं उसे काफी सरल तरीके से समझाने की कोशिश की गई है और जहाँ भी उदाहरण की आवश्यकता है वहाँ उदहारण के साथ टॉपिक को परिभाषित किया गया है| आव्यूह(Matrices) यूपी बोर्ड कक्षा 12 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए। यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 12 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे। इस लेख में हम जिन टॉपिक को कवर कर रहे हैं वह यहाँ अंकित हैं:

1. परिभाषा (Definition)

mn संख्याओं (वास्तविक अथवा काल्पनिक) को m पंक्तियों तथा n स्तम्भों में व्यवस्थित करने पर जो आयताकार सारणी (Rectangular Array) प्राप्त होती है, उसे m×n आव्यूह कहते हैं|

अथवा

m n संख्याओं के ऐसे समुच्चय को जो m पंक्तियों तथा n स्तम्भों वाली आयताकार सारणी के रूप में व्यवस्थित होता है, m×n आव्यूह (m by n Matrix) कहते हैं|

याद रखिए (note):

 आव्यूह आयताकार सारणी के रूप में व्यवस्थित कुछ संख्याओं का एक समुच्चय मात्र है|

 आव्यूह का कोई संख्यात्मक मान नही होता है|

* आव्यूह के अवयव (Elements of a Matrix):

कोई आव्यूह जिन संख्याओं से निर्मित होता है, उन्हें उस आव्यूह के अवयव कहते हैं|

I. आव्यूह के अवयवों को कोष्ठक  के अन्दर लिखा जाता है|

I. आव्यूह का क्रम लिखते समय पहले सदैव पंक्तियों की संख्या तथा इसके बाद स्तम्भों की संख्या लिखी जाती है|

II. यदि किसी आव्यूह का क्रम है तो उस आव्यूह में पंक्तियों की संख्या = m तथा स्तम्भों की संख्या = n.

III. आव्यूह में पंक्तियों तथा स्तम्भों की संख्या बराबर होना आवश्यक नहीं है|

IV. आव्यूह किसी आव्यूह में m पंक्तियों तथा n स्तम्भ है तो उस आव्यूह में अवयवो की संख्या = पंक्तियों की संख्या × स्तम्भों की संख्या = mn

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2. आव्यूह का निरूपण (Representation of a Matrix)

आव्यूह को प्राय: अंग्रेज़ी वर्णमाला के बड़े अक्षरों A,B,C…….से तथा इनके संगत छोटे अक्षरों के साथ द्वि-अनुलग्न लगाकर आव्यूह के अवयवों को निरुपित किया जाता है जबकि द्वि-अनुलग्न (Double Suffix) का पहला अंक सदैव उस पंक्ति की संख्या को एवं दूसरा अंक सदैव उस स्तम्भ की संख्या को व्यक्त करता है जिसमें अवयव है|

अदिश आव्यूह (Scalar Matrix) : ऐसा विकर्ण आव्यूह जिसके सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं| अदिश आव्यूह कहलाता है|

                                     अथवा

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण के सभी अवयव समान तथा शेष सभी अवयव शून्य होते हैं, अदिश आव्यूह कहलाता है|

याद रखिए (Note) :

1. प्रत्येक इकाई आव्यूह एक अदिश आव्यूह होता है|

2. प्रत्येक अदिश आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह होता है|

उपरित्रिभुजीय आव्यूह (Upper Triangular Matrix) :

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के नीचे सभी अवयव शून्य होते हैं, उपरित्रिभुजीय आव्यूह कहलाता है|

निम्न त्रिभुजीय आव्यूह (lower triangle matrix) :

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के ऊपर सभी अवयव शून्य होते हैं, निम्न त्रिभुजीय आव्यूह कहलाता है|

         (3). A में पंक्तियों की संख्या = B में पंक्तियों की संख्या

        अर्थात                m = r

         (4). A में स्तम्भों की संख्या = B में स्तम्भों की संख्या

        अर्थात                 n = s

5. अव्युहों का योग (Addition of matrices) :

यदि A और B समान क्रम के दो आव्यूह हैं तो इनका योगफल (A+B) उसी क्रम का एक ऐसा आव्यूह होता है जो A तथा B के संगत अवयवों को जोड़ने पर प्राप्त होता है|

उदाहरण :

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