UP Board कक्षा 10th गणित: मेन्सुरेशन,पार्ट-I

UP Board कक्षा 10वीं गणित अध्याय 12-मेन्सुरेशन का स्टडी नोट्स यहाँ हम उपलब्ध कर रहे  हैं। यहां दिए गए नोट्स कक्षा 10वीं गणित की बोर्ड परीक्षा और आंतरिक परीक्षा, दोनों की तैयारी के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे। मेन्सुरेशन यूपी बोर्ड 10वीं कक्षा के गणित विषय में सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए।

लम्बवृतीय बेलन या सिलिण्डर (Right Circular Cylinder) :

दैनिक जीवन में समतलों से बन्द त्रिविमीय आकृतियों के अतिरिक्त ऐसी आकृतियाँ देखने को मिलती है जिनकी पार्श्व पृष्ठ वक्र होती है जैसे गोल पाइप, गोल खम्भे, माप मापन जग, पेट्रोल का ड्रम आदि| इस प्रकार की आकृतियों का बोध निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट होता है| यदि आयत ABCD को उसकी भुजा AB के परित: घुमाया जाय तो भुजा DC की D₁C₁, D₂C₂, D₃C₃, D₄C₄, D₅C₅…… आदि क्रमश: विभिन्न स्थितियां होंगी ओर वह एक वक्रपृष्ठ का निर्माण करता है तथा भुजा AD तथा BC एक परिक्रमण पूर्ण करने पर वृताकार समतल क्षेत्र का निर्माण करते हैं| इन तलों को आधार या सिरे कहते हैं| इस प्रकार CD के द्वारा निर्मित वक्रपृष्ठ और AD और BC से निर्मित वृतीय समतलों से बनी बन्द आकृति लम्बवृतीय बेलन कहलाती है|

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-VI

परिभाषा : किसी आयत की एक भुजा को अक्ष मानकर उसके परित: आयत को घुमाने से जो ठोस बनता है, उसे लम्बवृतीय बेलन या सिलिण्डर कहते हैं|

AD या BC की लम्बाई को वृतीय आधार की त्रिज्या (r) और AB या DC की लम्बाई को वृतीय बेलन की उंचाई (h) कहते हैं| संक्षिप्तता की दृष्टि से लम्बवृतीय बेलन के स्थान पर केवल बेलन शब्द का भी प्रयोग किया जाता है|

लम्बवृतीय बेलन का वक्रपृष्ठ तथा आयतन :

मान लीजिए कि एक बेलन कागज का बना है| यदि इसके वक्रपृष्ठ के किसी सिरे के लम्बवत रेखा BC या AD के अनुदिश काटकर चित्र की भांति बेलन को समतल पर फैलाकर रख दें, तो वक्रपृष्ठ एक आयत का रूप धारण कर लेगा इसकी लम्बाई वर्ताकार आधार की परिधि 2πrऔर चौड़ाई बेलन की ऊँचाई (h) होती है|

लम्बवृतीय बेलन का वक्रपृष्ठ = आधार (वृत) की परिधि X ऊँचाई

= 2πrh

बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = वक्रपृष्ठ + दोनों सिरों का क्षेत्रफल

= 2πrh + 2πr²

= 2πr (h + r)

लम्बवृतीय बेलन का आयतन (V) = आधार (वृत) का क्षेत्रफल X ऊँचाई (h)

=πr²h

टिप्पणी : सूत्रों को व्युत्पन्न करना इस पुस्तक के क्षेत्र के बाहर है|

उदाहरण 1. एक बेलन के आधार का क्षेत्रफल 16π वर्ग सेमी तथा आयतन 112π घन सेमी है| बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

हल: बेलन के आधार का क्षेत्रफल = 16πवर्ग सेमी

तथा आयतन = 112πघन सेमी

बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल X ऊँचाई

तब बेलन की ऊँचाई = बेलन का आयतन / आधार का क्षेत्रफल

= 112π / 16π

= 7  सेमी

अत: बेलन की ऊँचाई = 7 सेमी|

उदाहरण 2. एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी है| यदि उसकी ऊँचाई 3 सेमी हो, तो बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ होगा:

(i) 132 सेमी²

(ii) 220 सेमी²

(iii) 308 सेमी²

(iv) 440 सेमी²

उत्तर: (iv) 440 सेमी²|

हल: बेलन की त्रिज्या r = 7 सेमी

ऊँचाई h = 3 सेमी

बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πr (h+r)

2 × 22/7 ×(3+7) = 44×10 = 440 सेमी²|

UP Board कक्षा 10 गणित: सरल रेखाएँ,पार्ट-II