UP Board Class 10 Mathematics Notes : Statistics (Chapter Fifth), Part-I

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अवर्गीकृत आँकडों से अभिकलित समान्तर माध्य :

असंसाधित आँकड़ो का समान्तर माध्य असंसाधित आँकडों में दिये चर के अभी मानों के योगफल को मानों की कुल संख्या से भाग देकर प्राप्त किया जाता है । मान लीजिए असंसाधित आँकडों में मानों की कुल संख्या n है । मान लीजिए विचाराधीन चर x है और x₁, x₂,..., x_n असंसाधित आँकडों में x के मान हैं । तब समान्तर माध्य (या केवल माध्य) की परिभाषा इस प्रकार दी जाती है :

क्योंकि x के कुछ मान  से कम होंगे और कुछ मान x से अधिक होंगे । इसलिए एक अर्थ में यह कहा जा सकता है कि  सभी मानों के केन्द्र पर स्थित है, जो इस बात की पुष्टि करता है कि यह केन्द्रीय प्रवृति की एक माप है ।

यहाँ हम आपके प्रैक्टिस के लिए हल सहित उदाहरण (Illustrative Examples) उपलब्ध कर रहें हैं :

उदाहरण 1. नीचे दिये हुये अशोधित आँकड़े एक विद्यालय की दसवीं कक्षा के गणित को परीक्षा में 50 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किये गये अंक हैं :

40           73           49           83           40          49           7              91           7              31           91           40           31     73

7              49           73           62           40           62           49           49           83           31           40           62           73     49

31           19           62           49           91           83           31           40           62           83           83           85           19     73

40           19           91           62           49           19           19           62

इन अंकों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।

हल : यहाँ n = 50 और मान लीजिए चर x अंकों को प्रकट करता है, तब अंक समुच्चय से चर x के भिन्न-भिन्न मान x₁, x₂,…..,x_n निन्नलिखित हो सकते हैं :

x₁ = 40, x₂ = 73,…, x₁₀ = 31

x₁₁ = 91, x₁₂ = 40,…,x₂₀ = 62

x₄₁ = 19, x₄₂ = 73,…, x₅₀ = 62.

यह काल ध्यान में रखनी चाहिए कि माप की इकाई को, जिसमें चर को मापा गया है (यहाँ इकाई अंक है), माध्य के मान के साथ भी देनी चाहिए । इसी प्रकार यदि इन विद्यार्थियों का औसत भार (किलोग्राम में) 40.62 हो तो हम कहेंगे कि प्रति विद्यार्थी माध्य भार 40.62 किलोग्राम है|

उदाहरण 2. (a) 2, 3, 6, 5 एवं x का समान्तर माध्य 4 है, तो x का मान है :

(i) 2

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 6

हल : समान्तर माध्य = 4 = 2+3+6+5+x / 5

                  20 = 16 + x

                  x = 20 – 16

                  x = 4

अत : विकल्प (iii) 4 सही है ।

उदाहरण 2. (b) आठ संख्याओं का समान्तर माध्य 12 है । नवीं संख्या अपठनीय है । यहि सभी नौ संख्याओं का समान्तर माध्य 13 है, तो अपठनीय संख्या होगी :

(i) 20

(ii) 21

(iii) 22

(iv) 23

उत्तर : विकल्प (ii) 21 सत्य है ।

हल :  आठ संख्याओं का योगफल = 12 X 8 = 96

माना  नौवीं संख्या = x हो, तो

  नौ संख्याओं का योगफल = 96 + x

  नौ संख्याओं का समान्तर माध्य =  96 + x / 9

  96 + x = 117

  x = 117 – 96

   x = 21.

उदाहरण 3.  10 पदों का समान्तर माध्य 24 तथा अन्तिम 8 पदों का समान्तर माध्य 20 है । प्रथम दो पदों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।

हल : माना दस पद x₁, x₂, x₃,…….,x₁₀ है।

तब 10 पदों का समान्तर माध्य =   x₁ + x₂ + x₃ + …….+ x₁₀ / 10 =24

x₁ + x₂ + x₃ + …….+ x₁₀ = 240         …(1)

प्रश्नानुसार, 

या   x₃ + x₄ + …….. + x₁₀ = 160            …(2)

समी. (1) व (2) से, x₁ + x₂ = 240 – 160 = 80

प्रथम दो पदों का समान्तर माध्य = x₁ + x₂ / 2

                                 = 80 / 2 = 40

(b) यदि n संख्याओं x₁, x₂, x₃,.….., x_n का समान्तर माध्य M है, तो सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक संख्या में a जोड़ने पर समान्तर माध्य (M + a) होगा।

हल : प्रश्न में n = n

उदाहरण 5. (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 और 10 का समान्तर माध्य होगा :

(i) 4.5

(ii) 5.0

(iii) 5.5

(iv) 6.0.

उत्तर : विकल्प (iii) 5.5.

हल :  समान्तर माध्य = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 / 10

                         = 55/10 = 5.5

(b) यदि 5, 10, 15, P, 20, 35, 40 का समान्तर माध्य 21 हो, तो P का मान होगा :

(i) 18

(ii) 22

(iii) 25

(iv) 30.

उत्तर : विकल्प (ii) 22

हल :  समान्तर माध्य = 5 + 10+15+P+20+35+40 / 7

                  147 = 125 + P

                  P = 147 – 125

                  P = 22.

उदाहरण 6. (a) एक नाविक को सोमवार से रविवार तक क्रमश: 100 रु., 80 रु., 120 रु., 105 रु., 86 रु., 112 रु. और 97 रु. की आय हुई । उसकी दैनिक औसत आय कितनी है?

(i) 80 रु.

(ii) 90 रु.

(iii) 100रु.

(iv) 110 रु.

उत्तर : विकल्प (iii) 100 रु. ।

हलं : दैनिक औसत आय = 100+80+120+105+86+112+97 / 7

                      = 700/7 = 100 रु. |

UP Board Class 10 Mathematics Notes : H.C.F and L.C.M (Chapter Second), Part-I

उदाहरण 6. (b) यदि (a – 1), (a + 5), (a + 11) और (a + 17) का समान्तर माध्य 10 है, तो a का मान है:

(i) -5

(ii) -2

(iii) 2

(iv) 5

उत्तर : विकल्प (iii) 2 सही है ।

हल : समान्तर माध्य

उदाहरण 7. यदि संख्याओं 27, 25, 23, x + 2, x – 2, 17, 15 और 13 का समान्तर माध्य 20 है, तो x का मान

(i) 18

(ii) 20

(iii) 22

(iv) 24.

हल : समान्तर  माध्य = 27+25+23+x+2+x-2+17+15+13 / 8

                   20 = 120+24 / 8

या                120 + 2x = 160

                   2x = 160 – 120 = 40

                    x = 40/2

                    x = 20

अत: विकल्प (ii) 20 सही है ।

उदाहरण 8. 1 से 15 तक के धन पूर्णांकों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।

हल : 1 से 15 तक के धन पूर्णांकों का समान्तर माध्य =  1+2+3+4+5+…………14+15 / 15

                                                          120 / 15 = 8

UP Board Class 10 Mathematics Notes : Rational Expressions (Chapter First), Part-I

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