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UP Board Class 10 Mathematics Notes : H.C.F and L.C.M (Chapter Second), Part-I

May 22, 2017 15:00 IST
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महत्तम समापवर्तक (Highest Common Factor or Greatest Common Divisor)

बहुपद d(x) को बहुपद p(x) का एक भाजक (divisor) कहा जाता है यदि d(x) बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड हो अर्थात् p(x) को d(x) q(x) के रूप में लिखा जा सकता हो, जहाँ q(x) एक बहुपद है । उदाहरण के लिए (x – 3) बहुपद (x – 3)2  (x + 2) का एक भाजक है । ध्यान दीजिए कि (x – 3)2, (x + 2) भी इस बहुपद के भाजक हैं। क्या आप इस बहुपद के और अधिक भाजक लिख सकते हैं? क्या (3 – x) बहुपद (x – 3)2 (x + 2) का एक भाजक है ।

आइए अब हम निम्नलिखित दो बहुपद लें

            p(x) = (x – 3)2 (x – 4) (x + 1)2

तथा        q(x) = (x – 3) (x + 1)2 (x – 5)

यहाँ हम देखते हैं कि p(x) और q(x) के सभी भाजकों में से एक ऐसा भाजक, जो दोनों बहुपदों का सार्वभाजक (Common divisor) और अधिकतम घात वाला हो, वह (x – 3) (x + 1)2 है । यहाँ आप यह भी देख सकते हैं कि (x – 3) (x + 1)2 सभी सार्वभाजकों में अधिकतम घात वाला सार्वभाजक भी है । हम यह पाते हैं कि जहाँ (x – 3) (x + 1)2 के अधिकतम घात वाले पद का गुणांक धनात्मक है वहीं – (x – 3) (x + 1)2  के अधिकतम घात वाले पद का गुणांक ऋणात्मक है। अब हम यह परिभाषा देते हैं कि दो बहुपदों p(x) और q(x) का म.स. वह सार्वभाजक होता है जिसका सभी सार्वभाजकों में अधिकतम घात हो और जिसके अधिकतम घात वाले पद का गुणांक घनात्मक हो। इस तरह हम यह पाते है कि (x – 3) (x + 1)2 दो बहुपदों (x – 3) (x + 4) (x + 1)2 और (x – 3) (x + 1)2 (x – 5) का म.स. है ।

हल सहित उदाहरण (Illustrative Examples)

उदाहरण 1. (1 + x3) और (1 – x + x2) (1 + x + x2) का महत्तम समापवर्तक है

(i) (1 + x)

(ii) (1 + x + x2)

(iii) (1 – x + x2)

(iv) (1 – x).

उत्तर: (iii) (1 – x + x2)

हल: 1 + x3 = (1 + x) X (1 – x + x2)

     (1 – x + x2) (1 + x + x2) = (1 – x + x2) X (1 + x + x2)

       म. स. प. = (1 – x + x2).

उदाहरण 2. (a) x2 – 4  और x3 + 8 का म. स. है:

(i) x – 2

(ii) x + 2

(iii) 2 – x

(iv) – (x + 2).

उत्तर : विकल्प (ii) (x + 2).

हल :       x2 – 4 = (x – 2) X (x + 2)

            x3 + 8 = (x + 2) (x2 – 2x + 4)

म. स. = (x + 2).

(b) (3x3 + 81) एवं 2(x + 3) का म. स. है:

(i) (x – 3)

(ii) (x2 + 3)

(iii) (x + 3)

(iv) (x3 + 3)

हल : 3x3 + 81 = 3(x3 + 27)

       = 3(x + 3) (x2 – 3x + 9)

तथा    2(x + 3) = 2(x + 3)

        म. स. = (x + 3)

अत: विकल्प (iii) (x + 3) सही है|

उदाहरण 3. व्यंजकों x2 – 9 और x2 – 5x + 6 का म. स. है:

(i) (x + 3)

(ii) (x + 2)

(iii) (x – 3)

(iv) (x – 2).

हल :    x2 – 9 = (x + 3) (x – 3)

       x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

अत: म. स. (x – 3) है|

उत्तर : विकल्प (iii) (x – 3).

उदाहरण 4. व्यंजकों (x2 – 1), (x – 1)2 तथा (x3 – 1) का म. स. होगा :

(i) 0

(ii) (x + 1)

(iii) (x – 1)

(iv) (x + 1) (x – 1).

उत्तर : विकल्प (iii) (x – 1).

हल :       x2 – 1 = (x – 1) (x + 1)

             (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1)

             (x3 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1)

             म. स. = (x – 1).

उदाहरण 5. व्यंजकों x(x2 – 1), (x2 – x3), x2 (x2 –1) का महत्तम समापर्वतक है:

(i) x(x2 – 1)

(ii) x2 – 1)

(iii) x2(x2 –1)

(iv) x(x – 1).

उत्तर : विकल्प (iv) x(x – 1).

हल :   x(x2 – 1) =  x(x – 1).(x + 1)

      x2 – x3 = – x.x (x – 1)

      x2(x2 – 1) = x.x (x – 1).(x + 1)

      x3(x – 1) = x .x.x(x – 1)

         म. स. = x(x – 1).

उदाहरण 6. व्यंजकों (x2 + x), (x + 1)3 और (x3 + 1) म. स. ज्ञात कीजिए|

हल :                   x2 + x = x(x + 1)

          (x + 1)3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1)

तथा                    x3 + 1 = (x)3 + (1)3

                  = (x + 1) (x2 + 1 – x)

    सर्वभाजक गुणनखण्ड =(x + 1)

अत:            म. स. = (x + 1).

उदाहरण 7. एक फल विक्रेता के पास (x2 – x – 20) आम तथा (x2 – 9x + 20) संतरे हैं | वह इन फलों को समान संख्या में अलग– अलग पेटियों में रखकर पार्सल करना चाहता है| ज्ञात कीजिए कि फल विक्रेता को कम – से – कम कितनी पेटियों की आवश्यकता होगी?

हल: x2 – x – 20 = (x – 5)(x + 4)

x2 – 9x + 20 = (x – 5)(x – 4)

 (x – 5) आम के (x + 4) पार्सल तथा (x – 5) संतरों के (x – 4) पार्सल बनेंगे|

अत:    पार्सलों की संख्या  = x + 4 + x – 4 = 2x

अत:     कुल  पार्सल = 2x.

UP Board Class 10 Mathematics Notes : Rational Expressions (Chapter First), Part-I

उदाहरण 8. (a) यदि व्यंजकों lx2 + mx – n और mx2 + lx – n का महत्तम समापर्वतक x + 1  है, तो सिद्ध कीजिए कि l = m और n =0  

हल: व्यंजकों lx2 + mx – n और mx2 + lx – n का महत्तम समापर्वतक x + 1 है|

तब    x + 1 = 0

या    x = – 1

lx2 + mx – n में  x = –1 रखने पर,

      l – m – n = 0               ...(1)

पुन: mx2 + lx – n x = –1 रखने पर,

      m – l – n = 0                ...(2)

समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,

              –2n = 0

या              n = 0

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,

           2l – 2m = 0

या                l = m.

(b) यदि ax2 + bx + c तथा का bx2 + ax + c म. स. हो, तो सिद्ध कीजिए कि c = 0 अथवा a = b.

हल: म. स. x + 1 = 0

x = – 1 रखने पर

ax2 + bx + c से

a(–1)2 + b(–1) + c = 0

a – b + c = 0       ... (i)

पुन: bx2 + ax + c   में x = –1 रखने पर,

    b(– 1)2 + a(– 1) + c = 0

    b – a + c = 0   ...(ii)

सम्बन्ध (i) तथा (ii) को जोड़ने पर, 2c = 0 या c = 0

समीकरण (i) में c = 0 रखने पर, a – b + 0 = 0

a – b = 0

a = b

अत: c =0, तथा a = b.

उदाहरण 9. व्यंजकों x3 – 27 और x2 + 4x – 21 का महत्तम समपर्वतक ज्ञात कीजिए|

हल:    x3 – 27 = (x – 3) X (x2 + 3x + 9)

       x2 + 4x – 21 = (x – 3) X (x +7)

                   म. स.  = (x – 3).

उदाहरण 10. व्यजकों x3 – 4x,  x2 – 4x + 4 और x4 – 16 का म. स. ज्ञात कीजिए|

हल:  x3 – 4x = x(x2 – 42)

       = x[(x)2 – (2)2]

        = x(x – 2)(x + 2)

        x2 – 4x + 4 = (x – 2)(x – 2)

    और,  x4 – 16 = (x2)2 – (4)2

           = (x2 – 4)(x2 + 4)

          = (x – 2)(x + 2)(x2 + 4)

           म. स. = (x – 2).

UP Board Class 10 Mathematics Notes : Rational Expressions (Chapter First), Part-II

ऊपर दिए गए टॉपिक को अच्छी तरह समझने के लिए निचे दिए गये प्रश्नों को हल करें :

निम्नलिखित बहुपद युग्मों का म. स. ज्ञात कीजिए:

1. 8xy2z3, 12x2y3z4.

2. (x + 1)(x – 2)(x + 3), (x – 1)(x – 2)(x + 3).

3. x2 + 5x + 6 तथा x2 + x – 6.

4. 2x(x + y), 6x2(x + y), 12x2(x + y)2.

5. 2x2y(x2 – yz) और 4xy(x – y).

6. 2x3 – x2 – x   तथा 4x2 + 8x + 3.

7. x2 – x, x2 – 2x + 1.

8. 9 – x2 तथा x2 + 4x + 3.

9. x2 – 5x + 6, x2 – 7x +12.

10. x3 +1, x2 + 2x +1.

11. (x + 4)2 (x – 3)3, (x –1)(x + 4)(x – 3)2.

12. x3 + 4x2 – 7x – 10 तथा x2 – 2x – 3.

13. x2 + 2x और x3 – 4x.

Scholarship 2017-18 for class 10th-12th UP Board Students

UP Board Class 10 Mathematics Notes : Quadratic Equations (Chapter Third)

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