UP Board Class 10 Mathematics Notes : Quadratic Equations (Chapter Third)

Find chapter notes for UP Board class 10th mathematics notes on chapter 3 (quadratic equations) from here. These notes are based on chapter 3 (quadratic equations) of class 10th maths subject. Read this article to get the notes, here we are providing each and every notes in a very simple and systematic way.The main topic cover in this article is given below :

द्विघात समीकरण

(Quadratic Equations)

1. प्रस्तावना

(introcuction)

पिछली कक्षाओं में हम ऐसी द्विघात समीकरणों का अध्ययन कर चुके हैं जिनके गुणांक तथा मूल वास्तविक संख्याएँ होते हैं| इस अध्ययन में हम ऐसी द्विघात समीकरणों के बारे में अध्ययन करेंगे जिनके

1. गुणांक वास्तविक तथा मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं|

2. गुणांक तथा मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं|

2. वास्तविक बहुपद

(Real Polynomial)

UP Board Class 10 Science Notes : Metals and Non Metals Part-I

* बहुपद का घात (Degree of a Polynomial)

किसी वास्तविक अथवा सम्मिश्र बहुपद के चर के सबसे बड़े घात वाले पद के घातांक को उस बहुपद का घात कहते है|

ऊपर दिए गए उदाहरणों में दिए हुए बहुपदों के घात क्रमश: 2 तथा 3 हैं|

I. ऐसा बहुपद जिसका घात 1 होता है, एकघातीय बहुपद (Monomial) अथवा रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) कहलाता है|

a, b, c को गुणांक तथा x को चर कहते हैं|

* समीकरण के मूल (Roots of an Equation)

चर के वह मान जो किसी समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं, उस समीकरण के मूल कहलाते हैं|

I. यदि समीकरण f(x) =0 का एक मूल x₁ है तो f(x₁) = 0

II. किसी समीकरण के मूल ज्ञात करना उस समीकरण को हल करना कहलाता है|

* हल समुच्चय (Solution set):

दिए हुए प्रांत (Domain) में किसी समीकरण के सभी मूलों का समुच्चय उस समीकरण का हल समुच्चय कहलाता है|

इएलिए            f(α) = 0

अत: α , समीकरण f(x) = 0 का एक मूल है|

UP Board Class 10 Science Notes : Metals and Non Metals Part-II

6. बीजगणित का मूल प्रमेय: एक अथवा एक से अधिक घात वाले प्रत्येक बहुपद समीकरण का कम से कम एक मूल अवश्य होता है| इस प्रमेय का प्रतिपादन जर्मन गणितज्ञ गॉस ने किया था| इसकी उत्पत्ति एक पुस्तक के कार्य क्षेत्र से बाहर है| परन्तु इसका आवश्यकतानुसार प्रयोग किया जायेगा|

7. n-घातीय समीकरण के मूलों की संख्या :

(i) प्रमेय :

n-घातीय समीकरण के n और केवल n मूल होते हैं|

उत्पत्ति: माना f(x) = 0, एक n- घातीय समीकरण है तो बीजगणित के मूल प्रमेय से समीकरण f(x) = 0 का कम से कम एक मूल अवश्य होगा|

माना समीकरण f(x) = 0 का एक मूल α₁ है तो गुणनखण्ड प्रमेय से (x- α₁) बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड होगा|

माना                f(x) = (x- α₁).g₁(x)

जहाँ g₁(x), (n-1) घात का बहुपद है|

पुनः बीजगणित के मूल प्रमेय से समीकरण g₁(x) = 0 का कम से कम एक मूल अवश्य होगा| माना समीकरण g₁(x) = 0 का एक मूल α₂ है तो गुणनखण्ड प्रमेय से (x- α₂) बहुपद g₁(x) का एक गुणनखण्ड होगा|

माना                g₁(x) = (x- α₂).g₂(x)

जहाँ g₂(x), (n-2) घात का बहुपद है|

f(x) = (x-α₁).g₁(x) = (x- α₁) (x- α₂) .g₂(x)

इसी प्रकार इसी क्रम में आगे बढ़ने पर,

f(x) = (x- α₁) (x- α₂) (x- α₃)....... (x- α_n) .g_n(x)

जहाँ g_n(x), (n-n) अर्थात शून्य घात का बहुपद अर्थात अचर है|

माना,            g_n(x) = k

तब,    f(x) = (x- α₁) (x- α₂) (x- α₃)........... (x- α_n).k

इस प्रकार हम देखते हैं कि (x- α₁), (x- α₂), (x- α₃),......., (x- α_n), बहुपद f(x) के गुणनखण्ड है|

गुणनखण्ड प्रमेय के विलोम से α₁, α₂, α₃,........, α_n समीकरण f(x) = 0 के n मूल हैं|

यदि x= β, प्रत्येक α से भिन्न है तो f(β) ¹ 0

अर्थात समीकरण f(x) = 0 का α₁, α₂, α₃,........, α_n के अतिरिक्त कोई अन्य मूल नहीं है|

अतः n-घातीय समीकरण f(x) = 0 के n और केवल n मूल हैं|

प्रत्येक द्विघात समीकरण के दो और केवल दो मूल होते हैं|

उत्पत्ति : यहाँ हमें निम्नलिखित दो भाग सिद्ध करने होंगे;

1. प्रत्येक द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं|

2. प्रत्येक द्विघात समीकरण के केवल दो मूल होते हैं अर्थात द्विघात समीकरण के दो से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं|

1. प्रत्येक द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं:

माना ax²+bx+c = 0, a ¹ 0 एक द्विघात समीकरण है|

उक्त समीकरण के दोनों पक्षों में α से गुना करने पर,

(2) में से (3) को घटाने पर,

α (β² – γ²) + b(β – γ) = 0,   (β – γ){α (β – γ) + b } = 0  

                                   β – γ ¹ 0  

इसलिए,     α (β – γ) + b = 0           ..................(5)

(4) से (5) को घटाने पर,   α (α – γ) = 0  

परन्तु यह संभव है क्यूंकि α एवं γ भिन्न है|   α ¹ 0

इसलिए            α (α – γ) ¹ 0

इस प्रकार हमारा यह मनना गलत है कि द्विघात समीकरण के तिन विभिन्न मूल हैं|

अतः द्विघात समीकरण के दो से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं|   

UP Board Class 10 Science Notes : Metals and Non Metals Part-III

यहाँ हम आपको कुछ प्रश्नों के साथ उनके उत्तर उदाहरण के लिए प्रदान कर रहें हैं-

UP Board Class 10 Science Notes : Metals and Non Metals Part-IV