UP Board Class 10 Mathematics Notes On Statistics (Chapter Fifth), Part-II

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1. समान्तर माध्य के गुण

2. समान्तर माध्य के अवगुण

3. प्रैक्टिस के लिए लघुउत्तरीय प्रश्न

4. विस्तृत उत्तरीय प्रश्न

5. वर्गीकृत आँकडों का समान्तर माध्य

समान्तर माध्य के गुण :

परिभाषा के अनुसार समान्तर माध्य के निग्नलिखित गुण अथवा अभीष्ट गुणधर्म होते है :

(1) यह सभी प्रेक्षणों (observations) पर आधारित होता है ।

(2) इसे सरलता से समझा जा सकता है ।

(3) इसे सरलता से अभिकलित किया जा सकता है ।

(4) यह अद्वितीय: परिभाषित होता है अर्थात् इसका एक और केवल एक मान होता है ।

समान्तर माध्य के अवगुण :

(1) वर्णनात्मक माप होने के कारण साध्य असंसाधित x₁, x₂,..,.x_n की सूचनाओं का संक्षिप्तीकरण तो कर देता हैं परन्तु असंसाधित आँकड़ों की सभी सूचनाओं को प्रस्तुत नहीं करता । उदाहरण के लिए यदि हमें x ज्ञात हो तो हम

(2) क्योंकि आँकडा-समुच्चय के प्रत्येक मान का प्रयोग माध्य का अभिकलन करने में किया जाता है, इसलिए इस पर चरम मानों (Extreme values) का काफी प्रभाव पड़ता है । कभी-कभी तो इन चरम मानों से माध्य का मान इतना अधिक प्रभावित होता है कि उसे केन्दीय प्रवृत्ति की माप मानना उचित नहीं जान पड़ता । उदाहरण के लिए मान लीजिए एक पाठ्यक्रम में पाँच विद्यार्थी है और गणित में उनके अंक 5, 10, 3, 12 और 80 हैं । इन आँकडों से परिकलन करने पर माध्य अंक 22 आता है जोकि आँकडा/समुच्चय का ठीक-ठीक प्रतिनिधित्व नहीं करता । क्योंकि केवल एक विद्यार्थी को छोड़कर अन्य सभी विद्यार्थियों के अंक 22 से काफी कम हैं । यहाँ पर केवल एक चरम प्राप्तांक 80 के कारण माध्य सामान्य से काफी अधिक हो गया हैं ।

यहाँ हम आपके प्रैक्टिस के लिए लघुउत्तरीय प्रश्न उपलब्ध कर रहें हैं:

1. 1 से 10 तक की धनात्मक पूर्ण सम-संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।

2. एक मजदूर की 10 दिनों की मजदूरी 70 रु., 60 रु., 75 रु., 50 रु., 60 रु., 75 रु., 65 रु., 55 रु., 70 रु. और 80 रु. है । उसकी औसत मजदूरी ज्ञात कीजिए ।

3. 8 संख्याओं का समान्तर साध्य 15 है । प्रत्येक संख्या को 3 से गुणा करने पर समान्तर माध्य क्या होगा ?

4. यदि 6, 8, 5, 7, x तथा 4 का समान्तर माध्य 7 है, x का मान ज्ञात कीजिए ।

5. एक क्षेत्र में 35 दिन तक के दैनिक निम्नतम तापमान (डिग्री फारेनहाइट में) निम्नलिखित है । डिग्री फारेनहाइट में माध्य निम्मतम तापमान ज्ञात कीजिए :

65     60     73     80     75     65     69     77     66     58     69     67     66   69

60     66     72     76     57     64     72     66     58     69     63     68     74   70

57     71     71     56     58     60     67

6. 5 संख्याओं का समान्तर साध्य 27 है । यदि एक संख्या भूल से छूटने पर समान्तर माध्य 25 प्राप्त हुआ । छूटी हुई संख्या ज्ञात कीजिए ।

विस्तृत उत्तरीय प्रश्न :

7. 35 संख्याओं का समान्तर माध्य 78.4 है । जाँच करने पर पाया गया कि माध्य का अभिकलन के समय 86 के स्थान पर 68 लिख दिया गया । सही माध्य ज्ञात कीजिए ।

8. बोर्ड परीक्षा की परीक्षा में X A के 25 विद्यार्थियों का समान्तर माध्य 67 है । X B के 30 विद्यार्थियों का समान्तर माध्य 75 है, तब 55 विद्यार्थियों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।

10. कक्षा X A के 25 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य 47 है, X B के 35 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य 51 है तथा X C के 30 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य 53 है । कक्षा X के तीनों सेक्सनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक का सम्मिलित समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।

वर्गीकृत आँकडों का समान्तर माध्य :

उदाहरण 1 (पेज 100) में दिये गये 50 अंकों के असंसाधित आँकडा-समुच्चय में हम यह पाते हैं कि सभी अंक अलग-अलग नहीं हैं । हम देखते हैं कि 3 विद्यार्थियों में प्रत्येक के अंक 7 हैं, 5 विद्यार्थियों में प्रत्येक के अंक 19

इन परिकलनों को निम्नलिखित सारणी 5.1 के रूप में रखा जा सकता है :

जहाँ x₁, x₂,..., x₉ सारणी 6.1 के स्तम्भ (1) में दिये गये अलग-अलग अंकों को प्रकट करते हैं ।

अब हम वर्गीकृत आँकडों का समान्तर माध्य ज्ञात करने की एक व्यापक परिभाषा दे सकते हैं ।

परिभाषा : यदि असंसाधित में n क्षणों के केवल k अलग-अलग मान हो, जिन्हें प्रेक्षित चर x के x₁, x₂,...,x_k से प्रकट किया गया हो और जिनकी बारम्बारताएँ क्रमश: f₁, f₂,….,f_k हो अर्थात् आँकडों को निम्नलिखित बारम्बारता सारणी के रूप में रखा जा सकता है :

इस स्थिति में, माध्य के परिकलनों को सारणी रूप में रखा जा सकता है जैसा कि सारणी 5.3 में दिया गया है।

इस प्रकार,

उदाहरण 1. एक फैक्टरी के 60 मजदूरों के भार (किलोग्राम में) निम्नलिखित बारम्बारता 'सारणी में दिये गये हैं । एक मजदूर का माध्य (अथवा औसत) भार ज्ञात कीजिए:

 

भार (किग्रा में) xi	मजदूरों की संख्या fi
60 61 62 63 64 65 कुल योग	5 8 14 16 10 7 n = 60

 उपर्युक्त सारणी से यह पता चलता है कि 60 मजदूरों के भार (किग्रा में) दिये गये हैं और यह देखा गया कि 5 मजदूरों में प्रत्येक का भार 60 किया है,  8 मजदूरों में प्रत्येक का भार 61 किग्रा है, आदि आदि । इसलिए असंसाधित आँकडा - समुच्चय में चर के 60 मान हैं और 60 किया भार की बारम्बारता 5.61 किग्रा की बारम्बारता 8 है आदि आदि। तब निम्न सारणी में गुणनफल f_ix_i, प्राप्त करके और फिर सूत्र (II) का प्रयोग करके माध्य भार प्राप्त किया जाता है|

उदाहरण 2. निम्नलिखित आँकडों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए :

चर	05	06	08	09	11	12
बारम्बारता	03	08	12	09	06	02

हल : समान्तर माध्य के लिए सारणी:

    = 330 / 40

       = 33 / 4

       = 8.25.

उदाहरण 3. (a) यदि निम्नलिखित आँकडों का समान्तर माध्य 21.5 हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए :

X	5	15	25	35	45
f	6	4	3	K	2

हल : समान्तर माध्य के लिए सारणी :

(21.5)(15+k) = 255 + 35 k

322.5 + 21.5 k = 255 + 35k

21.5k – 35 k = 255 – 322.5

13.5 k = 67.5

K = 67.5 / 13.5 = 5, K = 5

(1) यदि निम्नलिखित बारंबास्ता बंटन का माध्य 20 है,  तो p का मान ज्ञात कीजिए :

x (संख्या)	f (बारम्बारता)
15 17 19 P + 20 23	2 3 4 5p 6

हल : अभीष्ट सारणी :

X (संख्या)	f (बारम्बारता)	F × x
15 17 19 P +20 23	2 3 4 5p 6	30 51 76 5P2+100 138
योग	15 + 5p	265 + 5P2+100P

सामान्तर माध्य =

उदाहरण 4. समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए :

X	10	30	50	75	89
F	7	8	10	15	10

हल: गणना:

अत:    समान्तर माध्य = = 56.50

UP Board Class 10 Mathematics Notes : Taxation (Chapter Fourth), Part-I

पिछली कक्षा में हमने उपयुक्त वर्ग - अन्तराल और वर्ग - सीमा लेकर असंसाधित का Trigonometry frequency distribution से निरूपित करने की विधि पर विचार किया था । उदाहरण 1 के 50 अंको वाले असंसाधित  आँकडों में हम यह देखते है कि निप्नतम अंक 7 दौर अधिकतम अंक 9 है । इसलिए वर्ग - अन्तराल की चौडाई 10 और वर्ग 5-15, 15-25,.....85....95 लेकर  क्रो एक बारंबारता सारणी से निरूपित किया जा सकता हैं जैसा कि निम्न सारणी में दिखाया गया है:

अंक	विद्यार्थियों की संख्या
5 - 15 15 - 25 25 - 35 35 - 45 45 - 55 55 - 65 65 - 75 75 - 85 85 - 95	3 4 5 7 9 7 6 5 4
कुल योग	50

क्योंकि इस सारणी में अलग - अलग विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किये गये अंकों की कोई पहचान नहीं रह जाती इसलिए यह मानकर कि प्रत्येक वर्ग के सभी विद्यार्थियों के अंक उसके मध्य बिन्दु (या वर्ग चिन्ह)

Xi (i = 1,2,.......9) के बराबर है, ज्ञात कर सकते है हम सूत्र (II) की सहायता से  ज्ञात कर सकते हैं | जिसे परिकलित करने की विधि आगे दी गई है :

अब हम माध्य x अभिकलित करने की इस विधि का प्रयोग वर्गीकृत बारम्बारता बंटन के लिए कर सकते हैं । जब असंसाधित आँकडे बारम्बारता बटन के रूप में हों जिसके प्रत्येक वर्ग अन्तराल में विचर (variate) के एक या अधिक मान हो (यह आवश्यक नहीं है कि सभी वर्गों के वर्ग अन्तराल समान ही हो), तो इन वर्गीकृत आँकडों का माध्य ज्ञात करने में हम यह मान लेते हैं  कि किसी विशेष वर्ग अन्तराल के सभी मान वर्ग अन्तराल के मध्य बिन्दु (या वर्ग चिन्ह) पर स्थित  है ।  यहाँ वर्ग अन्तराल का मध्य बिन्दु अन्तराल की उपरी सीमा और निम्न सीमा का माध्य मालूम करके प्राप्त किया जाता है। यदि बद्ररम्बाऱता बंटन सारणी में k वर्ग अन्तराल को तो मध्य बिन्दुओं को x₁, x₂, ……. x_k से प्रकट किया जाता है। माध्य ज्ञात  करने के लिए हम सूत्र (II) को लागू करते है अर्थात प्रत्येक मध्य बिन्दु को उसकी संगत बारम्बास्ता से गुणा करते हैं, इन गुणानंफ़लओं को जोड़ते है और इस योगफल को बारम्बारता के योग से भाग देते हैं । तब माध्य निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त हो जाता हैं:

जहाँ,  k = वर्ग अन्तरालों की संख्या

       x_i = i वें वहाँ अन्तराल का मध्य बिन्दु (बर्ग चिन्ह)

तथा, f_i = I वें वर्ग अन्तराल की बारम्बारता|

UP Board Class 10 Mathematics Notes : Statistics (Chapter Fifth), Part-I