UP Board कक्षा 10 गणित: सरल रेखाएँ,पार्ट-II

आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 10 गणित के अध्याय 11-सरल रेखाएँ (Straight Lines) के दुसरे पार्ट का नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| हम इस चैप्टर नोट्स में जिन टॉपिक्स को कवर कर रहें हैं उसे काफी सरल तरीके से समझाने की कोशिश की गई है और जहाँ भी उदाहरण की आवश्यकता है वहाँ उदहारण के साथ टॉपिक को परिभाषित किया गया है| सरल रेखाएँ (Straight Lines) यूपी बोर्ड कक्षा 10 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए। यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 10 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे। इस लेख में हम जिन टॉपिक को कवर कर रहे हैं वह यहाँ अंकित हैं:

सरल रेखा की प्रवणता के रूप में मानक समीकरण :

यदि किसी सरल रेखा द्वारा y-अक्ष पर काटा गया अंत:खण्ड c ओर उसका x-अक्ष से झुकाव (inclination) θ दिया हो तो इस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करना|

चित्र में X’OX  तथा YOY’ क्रमश: x- अक्ष ओर y- अक्ष हैं| AB दी हुई सरल रेखा है जो x-अक्ष कोण θ बनाती है तथा y- अक्ष पर अंत:खण्ड ‘c’ काटती है| इस प्रकार ˂LOX = θ तथा OL=c | रेखा AB का समीकरण ज्ञात करना है|

मान लीजिए कि P(x, y) रेखा AB पर स्थित कोई बिन्दु है| P से रेखाखण्ड PM अक्ष X’OX पर लम्ब खींचिए| बिन्दु L से PM पर रेखाखण्ड LN लम्ब खींचिए|

चित्र से स्पष्ट है कि LN || X’OX और AB एक तिर्यक रेखा है|

                  या            y – c = mx

                 इसलिए        Y = m x + c

समीकरण y = mx + c सरल रेखा AB का अभीष्ट समीकरण है जिसकी प्रवणता m तथा y- अक्ष द्वारा काटा गया अंत: खण्ड c है|

समीकरण y = mx + c से स्पष्ट है कि x का गुणांक (coefficient) रेखा की प्रवणता निरुपित करता है|

उपप्रमेय 1. मान लीजिए कि दी हुई रेखा मूलबिंदु O से होकर जाती है| ऐसी अवस्था में रेखा द्वारा y- अक्ष पर काटा गया अंत:खण्ड 0 (शून्य) होगा, अर्थात c = 0 | इस प्रकार का समीकरण निम्नलिखित होगा:

y = mx

अत: मूलबिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण y = mx है|

उपप्रमेय 2. यदि रेखा x- अक्ष के समान्तर हो, तो θ = 0^०

इस प्रकार m = tanθ = 0, अत: रेखा का समीकरण y = c होगा|

उदाहरण 1. एक रेखा बिन्दु (0, 5) से होकर जाती है x- अक्ष के समान्तर है| रेखा का समीकरण होगा:

(i) x = - 5

(ii) y = - 5

(iii) y = 5

(iv) x = 5.

हल: रेखा बिन्दु (0, 5) से होकर जाती है और x- अक्ष के समान्तर है| रेखा का समीकरण y = 5 होगा|

अत: विकल्प (iii) y = 5.

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: सांख्यिकी(चैप्टर-5),पार्ट-II

उदाहरण 3. निम्नलिखित प्रतिबन्धों के अनुसार रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए:

(i) रेखा (2, 4) और (4, 2)  से जाती है|

(ii) रेखा (0, 1) और (1, 0)  से जाती है|

(iii) रेखा (a, b) और (b, a)  से जाती है|

(iv) बिन्दुओं (4, 6) और (-2, 8) से होकर जाने वाली रेखा की प्रवणता होगी:

(i) 1

(ii) 1/3

(iii) -1/3

(iv) 2/7

(v) बिन्दुओं (a²,b) तथा (b²,a) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता होगी:

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-VI