UP Board class 10th Mathematics notes on Mensuration, (part III)

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गोला (Sphere) :

विद्यार्थियों ने गोल वस्तुएँ जैसे गेंद, गोली इत्यादि देखी होंगी. गोला एक ऐसे पृष्ठ से सीमाबद्ध ठोस है जिस पर प्रत्येक बिन्दु एक स्थिर बिन्दु से समान दुरी पर होता है. स्थिर बिन्दु गोले का केन्द्र कहलाता है तथा पृष्ठ के किसी बिन्दु की केन्द्र से दुरी त्रिज्या कहलाती है. गोले के केन्द्र में होकर जाती हुई पृष्ठ से सीमाबद्ध रेखा गोले का व्यास कहलाती है.

हम देख चुके हैं कि लम्बवृतीय बेलन तथा लम्बवृतीय शंकु एक आयत तथा एक समकोण त्रिभुज को उसकी एक लम्ब भुजा के चारों ओर घुमाने से उत्पादित होता है. इसी प्रकार एक गोला एक अर्द्धवृत को उसके व्यास को अक्ष मानकर उसके चारों ओर घुमाने से, जब वह पूरी परिक्रमा कर लेता है, उत्पादित होता है.

आसन्न चित्र में गोला ABCD अर्द्धवृत ABC के व्यास AB को अक्ष मानकर उसके चारों ओर घुमने से उत्पन्न हुआ है. चित्र से स्पष्ट है कि अर्द्धवृत की प्रत्येक स्थिति में उसकी परीधि का कोई बिन्दु C उसके केन्द्र O से समान दुरी पर होता है.

अत: स्पष्ट है कि गोले का पृष्ठ उस बिन्दु का पथ है जो एक बिन्दु से अचर (constant) दुरी पर रहता है.

गोले का आयतन तथा पृष्ठ :

r त्रिज्या के गोले का आयतन 4/3πr³ होता है.

r त्रिज्या के गोले का आयतन  4 πr² होता है.

टिप्पणी: उपर्युक्त सूत्रों की व्युत्पत्ति इस पुस्तक के क्षेत्र के बाहर है.

UP Board Class 10 Mathematics Notes On Statistics (Chapter Fifth), Part-II

प्रयोग: एक पानी से भरे खोखले लम्बवृतीय बेलन में जिसकी ऊँचाई भीतरी व्यास के बराबर है चित्र के अनुसार उसी व्यास का गोला डाल दीजिये. बचे हुए पानी को नाप लीजिये. दूसरी स्थिति में बचे हुए पानी का आयतन तथा पहली स्थिति में पानी के आयतन 1 : 3 पायेंगे. अत: गोले का आयतन उसके’ बेलन के आयतन का दो तिहाई है.

यदि बेलन की त्रिज्या r और ऊँचाई 2r हो तो बेलन का आयतन

= πr² (2r) = 2πr³

 गोले का आयतन = 2/3 × परिगत बेलन का आयतन

2/3 × (2πr³) = 4/3(πr³)

गोले का आयत = 4/3πr³    

गोले का समतल परिच्छेद :

मान लीजिये एक गोले का केन्द्र O तथा त्रिज्या r है. समतल RSTU और गोले के प्रतिच्छेदन से बना वक्र ABC एक वृत होता है.

मान लीजिये वक्र पर कोई बिन्दु C है. O से समतल खींचा गया लम्ब OM = h है. रेखाखण्ड OC को मिलाया. यदि कोई रेखाखण्ड किसी समतल पर लम्ब हो तो उस समतल में खींची गयी प्रत्येक रेखा पर जो लम्ब पाद से होकर जाती है, लम्ब होता है.

 इसलिए त्रिभुज OMC एक समकोण त्रिभुज है. अत:

MC² = OC² – OM² = r² – h²

अब वक्र ABC पर कोई बिन्दु C की दुरी बिन्दु M से समान है. इसलिए वक्र ABC एक वृत है.

इसलिए, RSTU के प्रतिच्छेदन से प्राप्त वृत है जिसका केन्द्र M और त्रिज्या  है.

उदाहरण 1. एक गोले के आयतन तथा वक्र पृष्ठ के संख्यात्मक मान बराबर हैं. उस छोटे–से–छोटे बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसमें गोला ठीक-ठीक रखा जा सके.

हल: प्रश्नानुसार, गोले के आयतन का संख्यात्मक मान = वक्रपृष्ठ का संख्यात्मक मान

माना बेलन की ऊँचाई h है, तब

बेलन के आधार की त्रिज्या = R = r = 3

तथा    ऊँचाई h = 2r = 2 x 3 = 6

इसलिए,  बेलन का आयतन = πr²h

                        = π x (3)² x 6

                        = 54 π वर्ग इकाई.

UP Board Class 10 Mathematics Notes On Statistics (Chapter Fifth), Part-II