SSC क्वांटिटेटिव एप्टीट्युड ट्रिक्स: बीजगणितीय सूत्र व उनके आवेदन

बीजगणितीय सूत्रों की एपटीट्युड विषय के विभिंन टॉपिक्स से संबंधित प्रश्नों को हल करने में एक बहुत महत्वपूर्ण भूमिका हैं । ऐसा अनुमान है कि इस सेक्शन से SSC परीक्षा में लगभग 2-4 सवाल हमेशा पूछे जाते हैं । सवालों की कठिनाई स्तर आपके अपने दृष्टिकोण पर निर्भर करता है । कुछ प्रश्न उनकी जटिलता की वजह से गणना में बहुत समय लेते हैं|  

इस आलेख में, हम सभी बीजगणितीय सूत्रों और शॉर्टकट ट्रिक्स के साथ उनके अनुप्रयोगों के बारे में जानेंगे क्योंकि एप्टीट्युड सेक्शन में अधिकतर प्रश्न बीजगणितीय सूत्रों पर आधारित होते हैं । आइये इस सूत्रों और इन पर आधारित प्रश्नों पर एक नज़र डालें।

विभिन्न बीजगणितीय सूत्र

ये सूत्र न केवल बीजगणितीय समीकरणों के लिए प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण हैं बल्कि निर्देशांक ज्यामिति, त्रिकोणमिति व उसके अनुप्रयोगों, क्षेत्र व परिधि और अन्य प्रश्नों को सुलझाने में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं. ये सूत्र इस प्रकार हैं-

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1. a² – b² = (a – b)(a + b)
2. (a + b)² = a² + 2ab + b²
3. a² + b² = (a – b)² + 2ab
4. (a – b)² = a² – 2ab + b²
5. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
6. (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)
7. a³ + b³ + c³- 3abc = (a + b+ c) (a² + b² + c² - ab - ac - bc)
8. (a – b – c)² = a² + b² + c² – 2ab – 2ac + 2bc
9. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ; (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
10. (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
11. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
12. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
13. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
14. (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
15. (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴)
16. (a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴)
17. a⁴ – b⁴ = (a – b)(a + b)(a² + b²)
18. a⁵ – b⁵ = (a – b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)
19. if  a + b + c=0; then a³ + b³ + c³ =0
20. x²+ x(a + b) + ab = (x + a) (x + b)
21. ab (a + b) + bc (c + b) + ca (c + a) = (a + b)(b + c) (c + a)
22. a²(b + c ) + b² (c + a) + c² (a + b)+ 3abc = (a + b + c) (ab + bc + ca)
23. a²(b - c ) + b² (c - a) + c² (a - b) = (a – b)(b – c) (c – a)
24. यदि n एक प्राकृतिक संख्या है, aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^n-1 + a^n-2b+…+ b^n-2a + b^n-1)
25. यदि n एक सम संख्या है- (n = 2k), aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n-1 – a^n-2b +…+ b^n-2a – b^n-1)
26. यदि n एक विषम संख्या है- (n = 2k + 1), aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n-1 – a^n-2b +…- b^n-2a + b^n-1)
27. (a + b + c + …)² = a² + b² + c² + … + 2(ab + ac + bc + ….
28. घातांक के नियम          
    (a^m)(aⁿ) = a^m+n     
    (ab)^m = a^mb^m         
    (a^m)ⁿ = a^mn

 29. यदि a + b +c = abc, तब

महत्वपूर्ण बिंदु

• इन सूत्रों को विभिन्न प्रश्नों को हल करके ही सीखा जा सकता है|
• प्रश्न के अनुसार सही सूत्र का चयन करें क्योंकि गलत सूत्र का प्रयोग करने से सदैव गलत उत्तर ही प्राप्त होता है|

अभ्यास प्रश्न

1. यदि a⁴ + b⁴ = a²b², तो (a⁶ + b⁶) का मान क्या होगा?

Ans.:-  सूत्र a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) का प्रयोग करें;

(a⁶ + b⁶) = (a²)³ + (b²)³

= (a² + b²)( a⁴ + b⁴- a²b²)

= (a² + b²)( a²b²- a²b²)

=0

2.

Ans.:-  इस प्रश्न में इन मानों को प्रतिस्थापित करें-2.697 = x और 0.498 = y;

3.

Ans:- इसका हल निम्न प्रकार का होगा-

4. (x +y +z)³ - (y + z –x)³- (z + x –y)³- (x +y –z)³ का मान क्या होगा?

Ans.:- उपरोक्त समीकरण का सरलीकरण इस सूत्र के द्वारा करें- (a + b + c)³= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)

उपरोक्त सूत्र का उपयोग प्राय: कुछ इस प्रकार का होगा-

(a + b + c)³= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3bc² + 3b²c + 3a²c + 3ac² + 6abc

अत:, (x +y +z)³ = x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xy² + 3yz² + 3y²z + 3x²z + 3xz² + 6xyz --- (i)

(y + z –x)³=  -x³ + y³ + z³ + 3x²y - 3xy² + 3yz² + 3y²z + 3x²z - 3xz² - 6xyz ------(ii)

(z + x –y)³= x³ - y³ + z³ - 3x²y + 3xy² - 3yz² + 3y²z + 3x²z + 3xz² - 6xyz   -------(iii)

(x +y –z)³= x³ + y³ - z³ + 3x²y + 3xy² + 3yz² - 3y²z - 3x²z + 3xz² - 6xyz  --------(iv)

उपरोक्त चारों समीकरणों को व्यवस्थित करने पर-

= (x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xy² + 3yz² + 3y²z + 3x²z + 3xz² + 6xyz)-( -x³ + y³ + z³ + 3x²y - 3xy² + 3yz² + 3y²z + 3x²z - 3xz² - 6xyz)-( x³ - y³ + z³ - 3x²y + 3xy² - 3yz² + 3y²z + 3x²z + 3xz² - 6xyz)-( x³ + y³ - z³ + 3x²y + 3xy² + 3yz² - 3y²z - 3x²z + 3xz² - 6xyz)

=24xyz

उपर्युक्त समस्यायें व उनके समाधान इस विषय पर आधारित कुछ कठिन प्रश्नों के प्रकार को दर्शाता है । SSC परीक्षा में पुछा गया कोई भी सवाल अमूमन उपरोक्त फार्मूलों पर आधारित होता है। इस परीक्षा में एपटीट्युड अनुभाग में उत्कृष्ट प्रदर्शन के लिए अभ्यास की एक बहुत आवश्यकता है।

आगे सुझावों और SSC क्वांटिटेटिव एपटीट्युड के प्रश्न को सुलझाने में ट्रिक्स के लिए हमारी वेबसाइट पर आते रहें।

शुभकामनायें!