UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: महत्तम समापवर्तक & लघुत्तम समापवर्तक(चैप्टर-2),पार्ट-I

आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 10 वीं गणित अध्याय 2-महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक (HCF and LCM) का स्टडी नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| इस नोट्स में सभी टॉपिक को बड़े ही सरल तरीके से समझाया गया है और साथ ही साथ सभी टॉपिक के मुख्य बिन्दुओं पर समान रूप से प्रकाश डाला गया है|यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 10 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे।

 

Created On: May 22, 2017 15:00 IST
Modified On: May 22, 2017 16:01 IST

आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 10 गणित के दुसरे अध्याय- महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक (HCF and LCM) के पहले पार्ट का नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| हम इस चैप्टर नोट्स में जिन टॉपिक्स को कवर कर रहें हैं उसे काफी सरल तरीके से समझाने की कोशिश की गई है और जहाँ भी उदाहरण की आवश्यकता है वहाँ उदहारण के साथ टॉपिक को परिभाषित किया गया है| महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक (HCF and LCM) यूपी बोर्ड कक्षा 10 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए। यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 10 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे। इस लेख में हम जिन टॉपिक को कवर कर रहे हैं वह यहाँ अंकित हैं:

महत्तम समापवर्तक (Highest Common Factor or Greatest Common Divisor)

बहुपद d(x) को बहुपद p(x) का एक भाजक (divisor) कहा जाता है यदि d(x) बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड हो अर्थात् p(x) को d(x) q(x) के रूप में लिखा जा सकता हो, जहाँ q(x) एक बहुपद है । उदाहरण के लिए (x – 3) बहुपद (x – 3)2  (x + 2) का एक भाजक है । ध्यान दीजिए कि (x – 3)2, (x + 2) भी इस बहुपद के भाजक हैं। क्या आप इस बहुपद के और अधिक भाजक लिख सकते हैं? क्या (3 – x) बहुपद (x – 3)2 (x + 2) का एक भाजक है ।

आइए अब हम निम्नलिखित दो बहुपद लें

            p(x) = (x – 3)2 (x – 4) (x + 1)2

तथा        q(x) = (x – 3) (x + 1)2 (x – 5)

यहाँ हम देखते हैं कि p(x) और q(x) के सभी भाजकों में से एक ऐसा भाजक, जो दोनों बहुपदों का सार्वभाजक (Common divisor) और अधिकतम घात वाला हो, वह (x – 3) (x + 1)2 है । यहाँ आप यह भी देख सकते हैं कि (x – 3) (x + 1)2 सभी सार्वभाजकों में अधिकतम घात वाला सार्वभाजक भी है । हम यह पाते हैं कि जहाँ (x – 3) (x + 1)2 के अधिकतम घात वाले पद का गुणांक धनात्मक है वहीं – (x – 3) (x + 1)2  के अधिकतम घात वाले पद का गुणांक ऋणात्मक है। अब हम यह परिभाषा देते हैं कि दो बहुपदों p(x) और q(x) का म.स. वह सार्वभाजक होता है जिसका सभी सार्वभाजकों में अधिकतम घात हो और जिसके अधिकतम घात वाले पद का गुणांक घनात्मक हो। इस तरह हम यह पाते है कि (x – 3) (x + 1)2 दो बहुपदों (x – 3) (x + 4) (x + 1)2 और (x – 3) (x + 1)2 (x – 5) का म.स. है ।

हल सहित उदाहरण (Illustrative Examples)

उदाहरण 1. (1 + x3) और (1 – x + x2) (1 + x + x2) का महत्तम समापवर्तक है

(i) (1 + x)

(ii) (1 + x + x2)

(iii) (1 – x + x2)

(iv) (1 – x).

उत्तर: (iii) (1 – x + x2)

हल: 1 + x3 = (1 + x) X (1 – x + x2)

     (1 – x + x2) (1 + x + x2) = (1 – x + x2) X (1 + x + x2)

       म. स. प. = (1 – x + x2).

उदाहरण 2. (a) x2 – 4  और x3 + 8 का म. स. है:

(i) x – 2

(ii) x + 2

(iii) 2 – x

(iv) – (x + 2).

उत्तर : विकल्प (ii) (x + 2).

हल :       x2 – 4 = (x – 2) X (x + 2)

            x3 + 8 = (x + 2) (x2 – 2x + 4)

म. स. = (x + 2).

(b) (3x3 + 81) एवं 2(x + 3) का म. स. है:

(i) (x – 3)

(ii) (x2 + 3)

(iii) (x + 3)

(iv) (x3 + 3)

हल : 3x3 + 81 = 3(x3 + 27)

       = 3(x + 3) (x2 – 3x + 9)

तथा    2(x + 3) = 2(x + 3)

        म. स. = (x + 3)

अत: विकल्प (iii) (x + 3) सही है|

उदाहरण 3. व्यंजकों x2 – 9 और x2 – 5x + 6 का म. स. है:

(i) (x + 3)

(ii) (x + 2)

(iii) (x – 3)

(iv) (x – 2).

हल :    x2 – 9 = (x + 3) (x – 3)

       x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

अत: म. स. (x – 3) है|

उत्तर : विकल्प (iii) (x – 3).

उदाहरण 4. व्यंजकों (x2 – 1), (x – 1)2 तथा (x3 – 1) का म. स. होगा :

(i) 0

(ii) (x + 1)

(iii) (x – 1)

(iv) (x + 1) (x – 1).

उत्तर : विकल्प (iii) (x – 1).

हल :       x2 – 1 = (x – 1) (x + 1)

             (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1)

             (x3 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1)

             म. स. = (x – 1).

उदाहरण 5. व्यंजकों x(x2 – 1), (x2 – x3), x2 (x2 –1) का महत्तम समापर्वतक है:

(i) x(x2 – 1)

(ii) x2 – 1)

(iii) x2(x2 –1)

(iv) x(x – 1).

उत्तर : विकल्प (iv) x(x – 1).

हल :   x(x2 – 1) =  x(x – 1).(x + 1)

      x2 – x3 = – x.x (x – 1)

      x2(x2 – 1) = x.x (x – 1).(x + 1)

      x3(x – 1) = x .x.x(x – 1)

         म. स. = x(x – 1).

उदाहरण 6. व्यंजकों (x2 + x), (x + 1)3 और (x3 + 1) म. स. ज्ञात कीजिए|

हल :                   x2 + x = x(x + 1)

          (x + 1)3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1)

तथा                    x3 + 1 = (x)3 + (1)3

                  = (x + 1) (x2 + 1 – x)

    सर्वभाजक गुणनखण्ड =(x + 1)

अत:            म. स. = (x + 1).

उदाहरण 7. एक फल विक्रेता के पास (x2 – x – 20) आम तथा (x2 – 9x + 20) संतरे हैं | वह इन फलों को समान संख्या में अलग– अलग पेटियों में रखकर पार्सल करना चाहता है| ज्ञात कीजिए कि फल विक्रेता को कम – से – कम कितनी पेटियों की आवश्यकता होगी?

हल: x2 – x – 20 = (x – 5)(x + 4)

x2 – 9x + 20 = (x – 5)(x – 4)

 (x – 5) आम के (x + 4) पार्सल तथा (x – 5) संतरों के (x – 4) पार्सल बनेंगे|

अत:    पार्सलों की संख्या  = x + 4 + x – 4 = 2x

अत:     कुल  पार्सल = 2x.

UP Board कक्षा 12 गणित-I चेप्टर नोट्स : सारणिक (चैप्टर-2) पार्ट-II

उदाहरण 8. (a) यदि व्यंजकों lx2 + mx – n और mx2 + lx – n का महत्तम समापर्वतक x + 1  है, तो सिद्ध कीजिए कि l = m और n =0  

हल: व्यंजकों lx2 + mx – n और mx2 + lx – n का महत्तम समापर्वतक x + 1 है|

तब    x + 1 = 0

या    x = – 1

lx2 + mx – n में  x = –1 रखने पर,

      l – m – n = 0               ...(1)

पुन: mx2 + lx – n x = –1 रखने पर,

      m – l – n = 0                ...(2)

समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,

              –2n = 0

या              n = 0

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,

           2l – 2m = 0

या                l = m.

(b) यदि ax2 + bx + c तथा का bx2 + ax + c म. स. हो, तो सिद्ध कीजिए कि c = 0 अथवा a = b.

हल: म. स. x + 1 = 0

x = – 1 रखने पर

ax2 + bx + c से

a(–1)2 + b(–1) + c = 0

a – b + c = 0       ... (i)

पुन: bx2 + ax + c   में x = –1 रखने पर,

    b(– 1)2 + a(– 1) + c = 0

    b – a + c = 0   ...(ii)

सम्बन्ध (i) तथा (ii) को जोड़ने पर, 2c = 0 या c = 0

समीकरण (i) में c = 0 रखने पर, a – b + 0 = 0

a – b = 0

a = b

अत: c =0, तथा a = b.

उदाहरण 9. व्यंजकों x3 – 27 और x2 + 4x – 21 का महत्तम समपर्वतक ज्ञात कीजिए|

हल:    x3 – 27 = (x – 3) X (x2 + 3x + 9)

       x2 + 4x – 21 = (x – 3) X (x +7)

                   म. स.  = (x – 3).

उदाहरण 10. व्यजकों x3 – 4x,  x2 – 4x + 4 और x4 – 16 का म. स. ज्ञात कीजिए|

हल:  x3 – 4x = x(x2 – 42)

       = x[(x)2 – (2)2]

        = x(x – 2)(x + 2)

        x2 – 4x + 4 = (x – 2)(x – 2)

    और,  x4 – 16 = (x2)2 – (4)2

           = (x2 – 4)(x2 + 4)

          = (x – 2)(x + 2)(x2 + 4)

           म. स. = (x – 2).

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स :परिमेय व्यंजक(चैप्टर-1)

ऊपर दिए गए टॉपिक को अच्छी तरह समझने के लिए निचे दिए गये प्रश्नों को हल करें :

निम्नलिखित बहुपद युग्मों का म. स. ज्ञात कीजिए:

1. 8xy2z3, 12x2y3z4.

2. (x + 1)(x – 2)(x + 3), (x – 1)(x – 2)(x + 3).

3. x2 + 5x + 6 तथा x2 + x – 6.

4. 2x(x + y), 6x2(x + y), 12x2(x + y)2.

5. 2x2y(x2 – yz) और 4xy(x – y).

6. 2x3 – x2 – x   तथा 4x2 + 8x + 3.

7. x2 – x, x2 – 2x + 1.

8. 9 – x2 तथा x2 + 4x + 3.

9. x2 – 5x + 6, x2 – 7x +12.

10. x3 +1, x2 + 2x +1.

11. (x + 4)2 (x – 3)3, (x –1)(x + 4)(x – 3)2.

12. x3 + 4x2 – 7x – 10 तथा x2 – 2x – 3.

13. x2 + 2x और x3 – 4x.

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स :परिमेय व्यंजक(चैप्टर-1), पार्ट-II

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