UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: महत्तम समापवर्तक & लघुत्तम समापवर्तक (चैप्टर-2),पार्ट-II

यहाँ हम आपको UP Board कक्षा 10 वीं गणित अध्याय 2-महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक (HCF and LCM) के दुसरे पार्ट का स्टडी नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| इस नोट्स में सभी टॉपिक को बड़े ही सरल तरीके से समझाया गया है और साथ ही साथ सभी टॉपिक के मुख्य बिन्दुओं पर समान रूप से प्रकाश डाला गया है| यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 10 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे।

 

Created On: Dec 4, 2017 10:43 IST
UP Board Class 10 Mathematics Notes
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आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 10 गणित के दुसरे अध्याय- महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक (HCF and LCM) के दुसरे पार्ट का नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| हम इस चैप्टर नोट्स में जिन टॉपिक्स को कवर कर रहें हैं उसे काफी सरल तरीके से समझाने की कोशिश की गई है और जहाँ भी उदाहरण की आवश्यकता है वहाँ उदहारण के साथ टॉपिक को परिभाषित किया गया है| महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक (HCF and LCM) यूपी बोर्ड कक्षा 10 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए। यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 10 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे। इस लेख में हम जिन टॉपिक को कवर कर रहे हैं वह यहाँ अंकित हैं:

लघुतम समापववर्त्य (Lowest Common Multiple):

प्रथम विधि : यदि m, n दो प्राकृतिक संख्याएं हों, तो हम जानते हैं कि m और n गुणनफल उनके म. स. और ल. स. के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात्

mn = (m और n का म.स.) X (m और n का ल.स.)

maths chapter LCM

= (x+3)(x–2)2(x–6).

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: महत्तम समापवर्तक & लघुत्तम समापवर्तक(चैप्टर-2),पार्ट-I

द्वितीय विधि : निम्नलिखित विधि से भी हम दिये हुए बहुपदों का ल. स. ज्ञात कर सकते हैं| दिये हुए बहुपदों के गुणनखण्ड करने पर

P(x) = (x + 3)(x – 2)2

q(x) =(x – 2)(x – 6)

अब हम p(x) और q(x) के प्रत्येक गुणनखण्ड को लेकर इ बहुपद बना लेते हैं और यदि कोई गुणनखण्ड दोनों में सर्वनिष्ठ हो, तो हम उस गुणनखण्ड को लेते हैं जिसकी p(x),q(x) में अधिकतम घात हो| निम्न उदाहरणों से क्रिया स्पष्ट हो जायेगी:

हल सहित उदाहरण:

उदाहरण1. x(x2 – 1) और (x3 – 1) का ल.स. है:

(i) x(x – 1)

(ii) x(x2 – 1)

(iii) x(x3 – 1)

(iv) x(x + 1)(x3 – 1)

उत्तर: विकल्प (iv) x(x + 1)(x3 –1).

हल: x(x2 –1) = x X (x – 1)X(x + 1)

X3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)

ल. स. = x(x – 1)(x + 1)(x2 + x + 1)

= x(x + 1)(x3 – 1).

chapter second LCM

उदाहरण 3. व्यंजको x2–x–12, x2–9  तथा  x2–8x+16 का लघुतम समापवर्तक ज्ञात कीजिए|

हल: x2 – x – 12 = (x – 4) X (x + 3)

X2 – 9 = (x – 3) X (x+ 3)

X2 – 8x + 16 = (x – 4) X (x – 4)

ल.स. = (x – 3)(x + 3)(x – 4)(x – 4)

= (x – 3)(x + 3)(x – 4)2

उदाहरण 4. यदि दो व्यंजकों का गुणनखण्ड (x – 1)3 है और उसका महत्तम समापवर्तक (x – 1) हो, तोउसके लघुतम समापवर्तक का मान होगा:

(i) (x – 1)

(ii) (x – 1)2

(iii) (x – 1)3

(iv) (x – 1)4

उत्तर: विकल्प (ii) (x – 1)2 सही है|

हल: हम जानते हैं कि

दो व्यंजकों का गुणनफल = म.स. X ल.स.

  (x – 1)3 = (x – 1) X ल.स.

ल.स. = (x – 1)3/(x – 1)

ल.स. = (x – 1)2

उदाहरण 5. (x2 – 7x + 12) तथा  (x2 – 2x + 3) का ल. स. ज्ञात कीजिए|

हल:  x2 – 7x + 12 = (x – 3) (x – 4)

x2 –2x + 3 = (x – 1) (x – 3)

ल.स. = (x – 1)(x – 3)(x – 4).

उदाहरण 6. व्यंजकों x3 + 27, x2 – 9 तथा  2x2 +5x – 3 का ल.स. ज्ञात कीजिए|

हल: x3 + 27 = (x + 3)(x2 – 3x + 9)

x2 – 9 = (x – 3)(x – 3)

2x2 + 5x – 3 = 2x2 + 6x – x – 3

= 2x (x + 3) – 1(x + 3)

= (x + 3)(2x – 1)

ल.स. =(x + 3)(x – 3)(2x – 1)(x2 –3x + 9)

=(x2 –9)(2x – 1)(x2 –3x + 9).

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स : द्विघात समीकरण(चैप्टर-3)

उदाहरण 7. दो बहुपदों के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक क्रमश: (x–5) और (x–5)(x2–7x+12) हैं| यदि उनमें से एक बहुपद (x2–8x+15) है यदि उनमें से एक बहुपद (x2–8x+15) हो, तो दूसरा बहुपद ज्ञात कीजिए|

हल: म.स. = (x – 5)

ल.स. = (x – 5)(x2 –7x + 12)

एक बहुपद = x2–8x+15

Chapter second LCM solved eg

=(x – 4)(x – 5)

=x2 – 9x+ 20

अत:       दूसरा बहुपद =x2–9x+20

उदाहरण 8. यदि दो बहुपदों का गुणनफल (x2–9)(x3–8) हो तथा उनका म.स. (x2+x–6) हो तो उनका ल.स. ज्ञात कीजिए|

chapter second LCM

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स :परिमेय व्यंजक(चैप्टर-1)

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स :परिमेय व्यंजक(चैप्टर-1), पार्ट-II

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