UP Board class 10th Mathematics notes on Mensuration, (part II)

In this article, you will get notes of Mensuration(part II). These notes are based on chapter Mensuration of UP Board Class 10th Mathematics. These notes give a brief and simple explanation of all important topics. These notes are also useful for revision of the chapter just before the exam. With the help of these illustrations, you can easily understand important concepts. These illustrations will also help you to assess your preparation level.

लम्बवृतीय शंकु (Right Circular Cone) :

आइसक्रीम शंकु, जोकर की टोपी, चुरमुरे की पुडिया आदि के कुछ उदाहरण शंकु के है, जिनका पार्श्व पृष्ठ वक्र तथा आधार वृताकार होता है|

इस प्रकार की आकृतियों का बोध निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट होता है|

यदि समकोण त्रिभुज VAB को भुजा VB के परित: घुमाया जाए, तो भुजा VB की VB₁, VB₂, VB₃, .... आदि क्रमश: विभिन्न स्थितियाँ होंगी| वे एक वक्रपृष्ठ का निर्माण करते है| भुजा VB एक चक्कर पूर्ण कर लेने पर वृताकार समतल क्षेत्र का निर्माण करती है| इस प्रकार VB के द्वारा निर्मित वक्रपृष्ठ और VB से निर्मित वृतीय समतल से बनी बन्द आकृति लम्बवृतीय शंकु (right circular cone) कहलाती है|

चित्र में बिन्दु V शंकु का शीर्ष है| VO लम्बवृतीय शंकु की ऊँचाई (h) और शीर्ष को आधार के वृत पर स्थित किसी बिन्दु को मिलाने वाला रेखाखण्ड VA या VB या VC उसकी तिरछी ऊँचाई (slant height) (l) कहलाती है|

संक्षिप्तता की दृष्टि से लम्बवृतीय शंकु कहा जाता है|

शंकु का वक्रपृष्ठ तथा आयतन :

उदाहरण 1. (a) एक लम्बवृतीय शंकु के आधार की त्रिज्या तथा वक्रपृष्ठ क्रमश: 3 सेमी तथा 15∏ सेमी² हैं| शंकु की उर्ध्वाधर ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

हल: माना शंकु की उर्ध्वाधर ऊँचाई h सेमी है|

माना शंकु के आधार की त्रिज्या r = 3 सेमी

वक्रपृष्ठ = 15∏

∏rl = 15∏

∏ x 3 x l = 15∏

l = 5 सेमी

l² = h² + r²

25 = h² + 9

h² = 16

h = 4 सेमी

अत: शंकु की उर्ध्वाधर ऊँचाई = 4 सेमी|

(b) एक गोले की त्रिज्या r है और एक बेलन के आधार की त्रिज्या r ओर ऊँचाई 2r है| गोले और बेलन के आयतनों का अनुपात होगा:

(i) 2 : 3

(ii) 3 : 4

(iii) 4 : 3

(iv) 3 : 2

उत्तर: विकल्प (i) 2 : 3.

हल: गोले की त्रिज्या r है तब, आयतन = 4/3 ∏r³

बेलन के आधार की त्रिज्या r तथा ऊँचाई h = 2r

           तब,  बेलन का आयतन = ∏r² x 2r = 2∏r³

गोले का आयतन / बेलन का आयतन = 4/3∏r³/2∏r³

अनुपात = 2 : 3.

UP Board Class 10 Mathematics Notes On Statistics (Chapter Fifth), Part-II

उदाहरण 2 (a). दो शंकुओं के व्यास समान हैं| यदि इनकी तिर्यक ऊँचाइयाँ 5 : 4 के अनुपात में है तो इनके वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|

हल: दोनों शंकुओं के व्यास समान है|

अर्थात दोनों शंकुओं की त्रिज्याएँ समान होंगी

माना शंकुओं की त्रिज्याएँ r₁ तथा r₂ हैं|

\ r₁ = r₂

तथा माना इनकी तिर्यक ऊँचाइयाँ l₁ तथा l₂ हैं तब

उनमें अनुपात, l₁ : l₂ = 5 : 4

l₁/l₂  = 5/4

अब दोनों शंकुओं के वक्र पृष्ठों का अनुपात

∏r₁l₁ / ∏r₂l₂ = r₁/r₂ × l₁/l₂  = r₁/r₁ × 5/4 = 1× 5/4

अर्थात 5 : 4.

UP Board Class 10 Notes For Trigonometry (Chapter Sixth), Part-III