UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-VI

आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 10 गणित के अध्याय 6-त्रिकोणमिति (trigonometry) के 6th पार्ट का नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| हम इस चैप्टर नोट्स में जिन टॉपिक्स को कवर कर रहें हैं उसे काफी सरल तरीके से समझाने की कोशिश की गई है और जहाँ भी उदाहरण की आवश्यकता है वहाँ उदहारण के साथ टॉपिक को परिभाषित किया गया है| त्रिकोणमिति (trigonometry) यूपी बोर्ड कक्षा 10 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए। यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 10 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे। इस लेख में हम जिन टॉपिक को कवर कर रहे हैं वह यहाँ अंकित हैं:

1. दो कोणों के योग तथा अतंर के सूत्र

2. दो कोणों के अंतर के त्रिकोणमितीय अनुपात

3. हल सहित उदाहरण

दो कोणों के योग तथा अतंर के सूत्र :

दो कोणों के योग के त्रिकोणमितीय अनुपात:

(i) sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

(ii) cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

जबकि A, B तथा (A + B) न्युनकोण हैं|

माना, परिक्रामी रेखा अपनी प्रारम्भिक स्थिति OX से चलकर पहले कोण XOS (=A) और फिर कोण SOL (=B) बनाती हैं|

अत: कोण XOL = A + B

परिक्रामी रेखा की अंतिम स्थिति OL में P कोई बिन्दु लिया और P से OX और OS पर क्रमशः PN और PT लम्ब डाले | पुन: T से OX पर TM और PN पर TQ लम्ब डाला | स्पष्ट है कि

                                 = cos A cos B – sin A sin B

                cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

             दो कोणों के अंतर के त्रिकोणमितीय अनुपात:

             (i) sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

             (ii) cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

              जबकि A और B न्यूनकोण हैं|

                                = cos A cos B + sin A sin B

                cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

पिछले अनुच्छेद में हमने A, B को न्यूनकोण मान लिया है| किन्तु यदि A, B किसी भी मान के कोण लिए जाए तब भी सिद्ध किया जा सकता है, कि ये सूत्र सत्य हैं| त्रिकोणमिती में इन्हें व्यवकलन-प्रमेय (Theorem of subtraction) कहा जाता है|

हल सहित उदाहरण (Illustrative Examples) :

उदाहरण 1. निम्न के मान ज्ञात कीजिए

(i) sin 105⁰

(ii) cos 75⁰

हल: (i) sin 105⁰ = sin (60⁰ + 45⁰)

सूत्र    sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B द्वारा

     sin (60⁰ + 45⁰) = sin 60⁰ cos 45⁰ + cos 60⁰ sin 45⁰

उदाहरण 2. (a) cot 80⁰ cot 10⁰ – tan 80⁰ tan 10⁰ का मान ज्ञात कीजिए|

हल:   cot 80⁰ cot 10⁰ – tan 80⁰ tan 10⁰ = cot 80⁰ cot (90 – 80) – tan 80⁰ tan (90 – 80)

= cot 80⁰ tan 80⁰ – tan 80⁰ cot 80⁰

= 1 – 1

= 0.

(b) cos 20⁰ cos 70⁰ – sin 20⁰ sin 70⁰ का मान है:

(i) 0

(ii) 1

(iii)

(iv) cos 50⁰.

उत्तर : विकल्प (i) 0.

हल:  cos 20⁰ cos 70⁰ – sin 20⁰ sin 70⁰ = cos (20⁰ + 70⁰)

                                                        = cos 90⁰ = 0.

दो sines या cosines का योग अथवा अन्तर

पहले सिद्ध कर चुके हैं कि

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