UP Board Class 10 Mathematics Notes : Trigonometry (Chapter Sixth), Part-VI

In this article we are providing UP Board class 10^th chapter wise notes for the topic Trigonometry. Students must go through the below notes as it consist important formulae, important questions with explanation. It will defiantly helps students to prepare better for their UP Board class 10th mathematics Board exam 2018 and also in the internal exams. In this article we are covering these topic :

1. दो कोणों के योग तथा अतंर के सूत्र

2. दो कोणों के अंतर के त्रिकोणमितीय अनुपात

3. हल सहित उदाहरण

दो कोणों के योग तथा अतंर के सूत्र :

दो कोणों के योग के त्रिकोणमितीय अनुपात:

(i) sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

(ii) cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

जबकि A, B तथा (A + B) न्युनकोण हैं|

माना, परिक्रामी रेखा अपनी प्रारम्भिक स्थिति OX से चलकर पहले कोण XOS (=A) और फिर कोण SOL (=B) बनाती हैं|

अत: कोण XOL = A + B

परिक्रामी रेखा की अंतिम स्थिति OL में P कोई बिन्दु लिया और P से OX और OS पर क्रमशः PN और PT लम्ब डाले | पुन: T से OX पर TM और PN पर TQ लम्ब डाला | स्पष्ट है कि

                                 = cos A cos B – sin A sin B

                cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

             दो कोणों के अंतर के त्रिकोणमितीय अनुपात:

             (i) sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

             (ii) cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

              जबकि A और B न्यूनकोण हैं|

                                = cos A cos B + sin A sin B

                cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

पिछले अनुच्छेद में हमने A, B को न्यूनकोण मान लिया है| किन्तु यदि A, B किसी भी मान के कोण लिए जाए तब भी सिद्ध किया जा सकता है, कि ये सूत्र सत्य हैं| त्रिकोणमिती में इन्हें व्यवकलन-प्रमेय (Theorem of subtraction) कहा जाता है|

हल सहित उदाहरण (Illustrative Examples) :

उदाहरण 1. निम्न के मान ज्ञात कीजिए

(i) sin 105⁰

(ii) cos 75⁰

हल: (i) sin 105⁰ = sin (60⁰ + 45⁰)

सूत्र    sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B द्वारा

     sin (60⁰ + 45⁰) = sin 60⁰ cos 45⁰ + cos 60⁰ sin 45⁰

उदाहरण 2. (a) cot 80⁰ cot 10⁰ – tan 80⁰ tan 10⁰ का मान ज्ञात कीजिए|

हल:   cot 80⁰ cot 10⁰ – tan 80⁰ tan 10⁰ = cot 80⁰ cot (90 – 80) – tan 80⁰ tan (90 – 80)

= cot 80⁰ tan 80⁰ – tan 80⁰ cot 80⁰

= 1 – 1

= 0.

(b) cos 20⁰ cos 70⁰ – sin 20⁰ sin 70⁰ का मान है:

(i) 0

(ii) 1

(iii)

(iv) cos 50⁰.

उत्तर : विकल्प (i) 0.

हल:  cos 20⁰ cos 70⁰ – sin 20⁰ sin 70⁰ = cos (20⁰ + 70⁰)

                                                        = cos 90⁰ = 0.

दो sines या cosines का योग अथवा अन्तर

पहले सिद्ध कर चुके हैं कि

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