UP Board class 10th mathematics notes on Straight lines part I

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इस अध्याय में हम विस्तारपुर्वक सरल रेखा और उसके समीकरणों का विधिवत अध्ययन करेंगे| हम उन विभिन्न प्रतिबंधों का ज्ञान प्राप्त करेंगे जिनके अंतर्गत प्राप्त बिन्दुपथ सरल रेखा है, साथ ही सरल रेखा के समीकरणों के भिन्न-भिन्न मानक रूपों का भी ज्ञान अर्जित करेंगे|

x – अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण जो उससे b दुरी पर है :

चित्र में X’OX तथा YOY’ क्रमश: x- अक्ष तथा y- अक्ष हैं| y-अक्ष पर बिंदु A इस प्रकार लीजिए कि OA = b जहाँ b एक निश्चित वास्तविक संख्या है| बिन्दु A से रेखा AB, x - अक्ष के समान्तर खिचिए| रेखा AB का समीकरण ज्ञात करना है| AB पर कोई बिन्दु P(x,y) लीजिए| बिन्दु P से रेखाखण्ड PM, x- अक्ष पर लम्ब खिचिए| हमें ज्ञात है कि किन्हीं भी दो समान्तर रेखाओं के बीच की दुरी सभी स्थान पर समान होती है| अत: PM = OA = b

      PM  =  y

       Y = b ……………..(i)

अत: रेखा AB का समीकरण y = b है|

यहाँ यह समझ लेना आवश्यक है कि समीकरण (1) बिन्दु P (x,y) के बिन्दुपथ AB को निरुपित करता है| स्पष्ट है कि समीकरण (1) में चर राशि x नही है| अत: x पर कोई भी प्रतिबन्ध नहीं है| इस प्रकार x का मान  से  तक कुछ भी हो सकता है अर्थात | यदि b धन संख्या है तो रेखा  अक्ष के ऊपर होगी ओर यदि b ऋण संक्या है तो  - अक्ष के नीचे होगी| यह बात समझना सरल है कि यदि  तो रेखा - अक्ष के संपाती होगी| अत: - अक्ष का समीकरण है|

y- अक्ष के समान्तर सरल रेखा का समीकरण जो उससे a दुरी है :

चित्र में X’OX तथा YOY’x, अक्ष तथा y- अक्ष हैं| x- अक्ष पर बिन्दु L इस प्रकार लीजिए कि OL = a, जहाँ a एक निश्चित वास्तविक संख्या है| बिन्दु L से y- अक्ष के समान्तर उससे a दुरी पर स्थित कोई रेखा AB खींचिए| AB पर कोई बिन्दु P(x,y) लीजिए| P से रेखाखण्ड PM, y- अक्ष पर लम्ब खींचिए|

हमें ज्ञात है कि किन्हीं भी दो समान्तर रेखाओं के बीच की दुरी सभी स्थान पर समान होती है|

MP = OL = a

चूँकि AB रेखा का समीकरण x = a है|

यदि a धन संख्या है तो रेखा AB के दाहिनी ओर होगी ओर यदि a ऋण संख्या है तो AB, y- अक्ष के बायीं ओर होगी| यदि a = 0 हो तो समीकरण (2) का रूप x = 0 होगा| स्पष्ट है कि इस स्थिति में रेखा AB,y- अक्ष से संपाती होगी |

अत: y-अक्ष का समीकरण x = 0 है|

उपप्रमेय: यदि रेखा AB, x- अक्ष की ऋण दिशा में है अर्थात y- अक्ष के बायीं ओर है तो उसका समीकरण x = -a होगा|

UP Board Class 10 Mathematics Notes On Statistics (Chapter Fifth), Part-II

रेखा का ढाल अथवा प्रवणता तथा अंत:खण्ड (Slope or Gradient of a Line and Intercepts) :

चित्र में X’OX तथा YOY’ क्रमश: x-अक्ष तथा y- अक्ष हैं| x-y तल पर दो बिन्दु P(x_1, y₁) तथा Q(x₂,y₂) लीजिए| P तथा Q से सरल PQ खींचिए जो x- अक्ष को क्रमश: बिन्दु A तथा B पर काटती है| मान लीजिए रेखा PQ, x- अक्ष की धनात्मक दिशा से θ कोण बनाती है अर्थात

P ओर Q से क्रमश: रेखाखण्ड PM तथा QN, x- अक्ष पर लम्ब खीचीए| बिन्दु P से रेखाखण्ड PL,QN पर लम्ब खिचिए| चित्र से स्पष्ट है कि

स्पष्ट है कि यदि रेखा x- अक्ष की धनात्मक दिशा से θ कोण बनाती है तो उस रेखा की प्रवणता  m = tanθ

सरल रेखा PQ,x- अक्ष को बिन्दु A पर काटती है| रेखाखण्ड OA की लम्बाई को रेखा PQ द्वारा x- अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड (intercept) कहते हैं| इसी प्रकार OB की लम्बाई को रेखा PQ द्वारा y- अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड कहते है| किसी रेखा द्वारा x-अक्ष तथा y- अक्ष पर काटे गये अंत:खण्ड का मान धन अथवा ऋण निर्धारति करने के नियम वही हैं जो x-अक्ष तथा y-अक्ष पर नापी जाने वाली दूरीयों के लिए हैं|

UP Board Class 10 Notes For Trigonometry (Chapter Sixth), Part-III