UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: ऊंचाई और दूरी (चैप्टर-6)

आज हम यहाँ आपको UP Board कक्षा 10 गणित के अध्याय 6-ऊंचाई और दूरी (Height and Distance) का नोट्स उपलब्ध करा रहें हैं| हम इस चैप्टर नोट्स में जिन टॉपिक्स को कवर कर रहें हैं उसे काफी सरल तरीके से समझाने की कोशिश की गई है और जहाँ भी उदाहरण की आवश्यकता है वहाँ उदहारण के साथ टॉपिक को परिभाषित किया गया है| ऊंचाई और दूरी (Height and Distance) यूपी बोर्ड कक्षा 10 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसलिए, छात्रों को इस अध्याय को अच्छी तरह तैयार करना चाहिए। यहां दिए गए नोट्स यूपी बोर्ड की कक्षा 10 वीं गणित बोर्ड की परीक्षा 2018 और आंतरिक परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों के लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे। इस लेख में हम जिन टॉपिक को कवर कर रहे हैं वह यहाँ अंकित हैं:

1. ऊँचाई और दुरी

2. उन्नयन कोण

3. अवनमन कोण

4. हल सहित उदाहरण

ऊँचाई और दुरी (Height and Distance)

नवीं कक्षा में ऊँचाई और दुरी की समस्याओं को हल करने के लिए हमने निम्नलिखित दो कोणों का प्रयोग किया है:

(i) उन्नयन कोण (Angle of Elevation)|

(ii) अवनमन कोण (Angle of Depression)|

(i) उन्नयन कोण (Angle of Elevation)|: जब कोई वस्तु हमारे नेत्र के क्षैतिज तल से ऊपर स्थित हो, तो हमें उस वस्तु को देखने के लिए अपना सिर ऊपर उठाना पड़ता है| इस क्रिया में हमारे नेत्र एक कोण बनाते हुये घूमते

आप नवीं कक्षा में 30^o, 45^o और 60^o जैसे विशेष कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से ऊँचाई और दुरी से सम्बन्धित कुछ सरल व्यावहारिक प्रश्नों को हल करने की विधि से परिचित हो चुके हैं| अब आप हर प्रकार के कोणों से सम्बन्धित प्रश्नों को हल कर सकते हैं| आप परिशिष्ट में दी गई त्रिकोणमितिय और लघुगणकीय सारणियों की सहायता से प्रश्नों के सन्निकट हल प्राप्त कर सकते हैं|

उदाहरण 1. (a) किसी उर्ध्वाधर स्तम्भ के पाद बिन्दु से 60 मीटर दुरी पर क्षैतिज तल पर स्थित एक बिन्दु पर उनके शीर्ष का उन्नयन कोण 30^o है| स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

हल: माना उर्ध्वाधर स्तम्भ की ऊँचाई h मीटर है|

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति(चैप्टर-5),पार्ट-II

उदाहरण 1. (b) किसी मीनार के पाद से 20 मीटर दूर क्षैतिज तल पर स्थित किसी बिन्दु से मीनार के शिखर बिन्दु की दुरी 40 मीटर है| उस बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए| इसकी सहायता से मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए|

हल: माना मीनार की ऊँचाई AB = h मीटर

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-III

                                 = 200 किमी/सेकण्ड

                                = 200. 60. 60

                                = 720000 किमी/घंटा

अत:          वायुयान की गति  = 720000 किमी/घंटा

उदाहरण 4. एक मंदिर तथा उस पर पताका – दण्ड क्षैतिज भूमि के किसी बिन्दु पर क्रमश: 30^o और 30^o का कोण अंतरित करते हैं| यदि मंदिर की ऊँचाई 10 मीटर हो, तो पताका – दण्ड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

हल:   माना मंदिर की ऊँचाई BC = 10 मीटर

तथा पताका – दण्ड की ऊँचाई AB = h मीटर

                                          h = 20 मीटर

अत:  पताका – दण्ड की ऊँचाई = 20 मीटर

उदाहरण 5. एक सीधी सड़क के किनारे खड़े एक मीनार के किनारे स्थित दो क्रमागत किलोमीटर के पत्थरों के अवनति कोण  और  हैं|

हल: मानलो मीनार की ऊँचाई, AB h, D तथा C बिन्दुओं पर मीनार के शीर्ष के अवनति कोण  और  हैं|

माना BC = x.

उदाहरण 6. क्षैतिज तल पर स्थित एक मीनार की परछाई, सूर्य का उन्नयन कोण 60^o से बदलकर 30^o होने पर 40 मीटर बढ़ जाती है| मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

हल: माना शिखर की ऊँचाई AB = h मी. तथा BC = x मी.

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-IV

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-V